已知:⊙O的直径为3,线段AC=4,直线AC和PM分别与⊙O相切于点A,M.(1)求证:点P是线段AC的中点;(2)求sin∠PMC的值.
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已知:⊙O的直径为3,线段AC=4,直线AC和PM分别与⊙O相切于点A,M.(1)求证:点P是线段AC的中点;(2)求sin∠PMC的值.
题型:不详
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已知:⊙O的直径为3,线段AC=4,直线AC和PM分别与⊙O相切于点A,M.
(1)求证:点P是线段AC的中点;
(2)求sin∠PMC的值.
答案
解:(1)证明:如图,连接OM,
∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A,M,
∴PM=PA,OM⊥BC,BA⊥AC。
∴∠OMP=90°,∠BAC=90°。
∴∠1+∠2=90°,∠B+∠C=90°。
∵OB=OM,∴∠2=∠B。∴∠1=∠C。∴PC=PM。
又∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A,M,
∴PA=PM。∴PA=PC。
∴点P是线段AC的中点。
(2)在Rt△ABC中,AB=3,AC=4,∴
。
∴
。
由(1)∠PMC=∠C,∴sin∠PMC=
。
解析
试题分析:(1)连接OM,根据切线的性质得OM⊥BC,BA⊥AC,根据切线长定理得PM=PA,则∠1+∠2=90°,∠B+∠C=90°,而∠2=∠B,所以∠1=∠C,于是得到PC=PM,则PA=PC。
(2)由于∠PMC=∠C,在Rt△ABC中,先根据勾股定理计算出BC=5,然后根据正弦的定义得到
,于是得到sin∠PMC的值。
举一反三
如图,菱形ABCD的对角线BD、AC分别为2、
,以B为圆心的弧与AD、DC相切,则阴影部分的面积是
A.
B.
C.
D.
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如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,过点D作DE⊥AD交AB于E,以AE为直径作⊙O.
(1)求证:点D在⊙O上;
(2)求证:BC是⊙O的切线;
(3)若AC=6,BC=8,求△BDE的面积.
题型:不详
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如图,已知圆锥的母线长为6,圆锥的高与母线所夹的角为θ,且sinθ=
,则该圆锥的侧面积是
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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如图,AB是⊙O的弦,OH⊥AB于点H,点P是优弧上一点,若AB=
,OH=1,则∠APB的度数是
.
题型:不详
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如图,在边长为2的正方形ABCD中,以点D为圆心、DC为半径作
,点E在AB上,且与A、B两点均不重合,点M在AD上,且ME=MD,过点E作EF⊥ME,交BC于点F,连接DE、MF.
(1)求证:EF是
所在⊙D的切线;
(2)当MA=
时,求MF的长;
(3)试探究:△MFE能否是等腰直角三角形?若是,请直接写出MF的长度;若不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
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