已知函数f（x）=ax3-3x2+1-。（1）讨论函数f（x）的单调性； （2）在a＞0的情况下，若曲线y=f（x）上两点A，B处的切线都与y轴垂直，且线段AB

题型：0119 期末题难度：来源：

已知函数f（x）=ax³-3x²+1-。
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）在a＞0的情况下，若曲线y=f（x）上两点A，B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围。

答案

解：（1）
令得
（i）当时，
若，则
所以f（x）在区间上是增函数
若，则
所以f（x）在区间是减函数
若，则
所以函数f（x）在区间上是增函数
（ii）当时，
若，则
所以f（x）在区间上是减函数
若，则
所以f（x）在区间是增函数
若，则
所以f（x）在区间上是减函数。
（2）由（1）中（i）的讨论及题设知
曲线上的两点的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极大值和极小值
，
因为线段AB与x轴有公共点，
所以并且两等号不能同时成立
即并且两等号不能同时成立
由已知故
解得
即所求实数a的取值范围是。