已知函数f（x）=x3-x2+，且存在x0∈（0，），使f（x0）=x0（1）证明：f（x）是R上的单调增函数；（2）设x1=0，xn+1=f（xn）；y1=，

题型：陕西省高考真题难度：来源：

已知函数f（x）=x³-x²+，且存在x₀∈（0，），使f（x₀）=x₀
（1）证明：f（x）是R上的单调增函数；
（2）设x₁=0，x_n+1=f（x_n）；y₁=，y_n+1=f（y_n），其中n=1，2，…证明：x_n＜x_n+1＜x₀＜y_n+1＜y_n；
（3）证明：。

答案

解：（1）∵
∴f（x）是R上的单调增函数。
（2）∵
即
又f（x）是增函数
∴
即
又

综上，。
用数学归纳法证明如下：
（i）当n=1时，上面已证明成立；
（ii）假设当n=k （k≥1）时有
当n=k+1时，由f（x）是单调增函数，有

∴
由（i）和（ii）对一切n=1，2，…，都有。
（3）

由（2）知，
∴
∴。