已知函数f(x)=x3-x2+,且存在x0∈(0,),使f(x0)=x0(1)证明:f(x)是R上的单调增函数;(2)设x1=0,xn+1=f(xn);y1=,

已知函数f(x)=x3-x2+,且存在x0∈(0,),使f(x0)=x0(1)证明:f(x)是R上的单调增函数;(2)设x1=0,xn+1=f(xn);y1=,

题型:陕西省高考真题难度:来源:
已知函数f(x)=x3-x2+,且存在x0∈(0,),使f(x0)=x0
(1)证明:f(x)是R上的单调增函数;
(2)设x1=0,xn+1=f(xn);y1=,yn+1=f(yn),其中n=1,2,…证明:xn<xn+1<x0<yn+1<yn
(3)证明:
答案
解:(1)∵
∴f(x)是R上的单调增函数。
(2)∵

又f(x)是增函数




综上,
用数学归纳法证明如下:
(i)当n=1时,上面已证明成立;
(ii)假设当n=k (k≥1)时有
当n=k+1时,由f(x)是单调增函数,有


由(i)和(ii)对一切n=1,2,…,都有
(3)

由(2)知,

举一反三
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值。
(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间。
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围。
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设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一个极值点,
(Ⅰ)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设a>0,g(x)=(a2+)ex,若存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)-f(ξ2)<1|成立,求a的取值范围。
题型:湖北省高考真题难度:| 查看答案
设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1,
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)讨论f(x)的极值。
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已知函数f(x)=4x3-3x2cosθ+,其中x∈R,θ为参数,且0≤θ≤
(1)当cosθ=0时,判断函数f(x)是否有极值;
(2)要使函数f(x)的极小值大于零,求参数θ的取值范围;
(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ,函数f(x)在区间(2a-1,a)内都是增函数,求实数a的取值范围。
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设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2,试用c表示a和b,并求f(x)的单调区间。
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