已知函数f(x)在R上有定义,对任何实数a>0和任何实数x,都有f(ax)=af(x),(Ⅰ)证明f(0)=0;(Ⅱ)证明,其中k和h均为常数;(Ⅲ)当(Ⅱ)中
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已知函数f(x)在R上有定义,对任何实数a>0和任何实数x,都有f(ax)=af(x),(Ⅰ)证明f(0)=0;(Ⅱ)证明,其中k和h均为常数;(Ⅲ)当(Ⅱ)中
题型:安徽省高考真题
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来源:
已知函数f(x)在R上有定义,对任何实数a>0和任何实数x,都有f(ax)=af(x),
(Ⅰ)证明f(0)=0;
(Ⅱ)证明
,其中k和h均为常数;
(Ⅲ)当(Ⅱ)中的k>0时,设g(x)=
+f(x)(x>0),讨论g(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值。
答案
解:(Ⅰ)令x=0,则
,
∵a>0,
∴
。
(Ⅱ)①令x=a,∵a>0,
∴x>0,则
。
假设x≥0时,f(x)=kx(x∈R),则
,而
,
∴
,即f(x)=kx成立;
②令x=-a,∵a>0,∴x<0,
,
假设x<0时,
,
则
,
而
,
∴
,即f(x)=hx成立;
∴
成立。
(Ⅲ)当x>0时,
,
,
令
,得x=1或x=-1;
当
时,
,∴g(x)是单调递减函数;
当
时,
,∴g(x)是单调递增函数;
所以当x=1时,函数g(x)在(0,+∞)内取得极小值,极小值为
。
举一反三
已知a∈R,函数f(x)=-
x
3
+
ax
2
+2ax(x∈R),
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)函数f(x)是否在R上单调递减,若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由;
(3)若函数f(x)在[-1,1]上单调递增,求a的取值范围。
题型:广东省期末题
难度:
|
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已知函数f(x)=ax
3
-3x
2
+1-
。
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)在a>0的情况下,若曲线y=f(x)上两点A,B处的切线都与y轴垂直,且线段AB与x轴有公共点,求实数a的取值范围。
题型:0119 期末题
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
-x
2
+
,且存在x
0
∈(0,
),使f(x
0
)=x
0
(1)证明:f(x)是R上的单调增函数;
(2)设x
1
=0,x
n+1
=f(x
n
);y
1
=
,y
n+1
=f(y
n
),其中n=1,2,…证明:x
n
<x
n+1
<x
0
<y
n+1
<y
n
;
(3)证明:
。
题型:陕西省高考真题
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c在x=-
与x=1时都取得极值。
(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间。
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c
2
恒成立,求c的取值范围。
题型:江西省高考真题
难度:
|
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设x=3是函数f(x)=(x
2
+ax+b)e
3-x
(x∈R)的一个极值点,
(Ⅰ)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设a>0,g(x)=(a
2
+
)e
x
,若存在ξ
1
,ξ
2
∈[0,4]使得|f(ξ
1
)-f(ξ
2
)<1|成立,求a的取值范围。
题型:湖北省高考真题
难度:
|
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