设函数f（x）=（1+x）2-ln（1+x）2。（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程x

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设函数f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²。
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当

时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程x²+x+a=f（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围。

答案

解：（1）函数的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）

由f"（x）>0，得-2 ＜x＜-1或x>0；
由f"（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0
所以f（x）的递增区间是（-2，-1），（0，+∞）；
递减区间是（-∞，-2），（-1，0）。
（2）由（1）知f（x）在

上单调递减，在[0，e-1]上单调递增
又

且

所以当

时，f（x）_max=e²-2
因为当

时，不等式f（x）＜m恒成立，
所以m>f（x）_max，即m>e²-2，
故m的取值范围为（e²-2，+∞）。
（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0
记g（x）=x-a+1-ln（1+x）²，则

由g"（x）>0，得x＜-1或x>1；
由g"（x）＜0，得-1＜x＜1
所以g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增
为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异的实根，
只需g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，
于是有

即

解得2-2ln2＜a≤3-2ln3
故实数a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3]。

举一反三

函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)=f(4-x)，且(x-2)·f′(x)＞0，记a=f(0)，b=f(

)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系是[ ]
A.a＞c＞b
B.c＞b＞a
C.a＞b＞c
D.b＞a＞c

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设函数

，
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若k＞0，求不等式f′(x)+k(1-x)f(x)＞0的解集。

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f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax-2(a＞0且a≠1)，
(Ⅰ)当a=2时，求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若f(x)在区间[0，2]内有三个零点，求a的取值范围。
注：a³-3a²+2=(a-1)(a²-2a-2)

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观察算式：0×0=0-0，1×

=1-

，

=2-

，…
（1）根据算式所呈现出的规律，请写出一个关于x，y满足的代数式，探究y= f（x）的单调性；
（2）设实数a，b满足|ab|≥4，求证：f（|a|）+f（|b|）>1。

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已知函数f(x)=

x³-bx²+2x+a，x=2是f(x)的一个极值点，
(Ⅰ)求b的值和f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)若当x∈[1，3]时，f(x)-a²＞

恒成立，求a的取值范围．

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