解:(1)当a=1时,, 令得, 当x∈或x∈时,f′(x)>0;当x∈时,f′(x)<0, 所以函数f(x)的单调增区间为和,函数f(x)的单调减区间为。 (2)假设存在这样的a,使得对任意的x∈[0,1]成立, 当x=0时,a∈R,先求对任意的x∈(0,1]成立, 即a≥x2对任意的x∈(0,1]成立,所以a≥1;① 再求对任意的x∈(0,1]成立, 即对任意的x∈(0,1]成立, 记,, 令,得, 且当时,t ′(x)<0,函数递减; 当时,t′(x)>0,函数递增, 所以,函数在区间(0,1]上的最小值为, 所以a≤1; ② 由①,②可知,存在这样的实数a=1,使得对任意的x∈[0,1]成立. |