解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),
,∴在x∈(0,+∞)恒成立,
故f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间。
(Ⅱ)依题意,问题转化为,
令,
首先求在x∈上的最大值,
由于,
当时,,所以在上递减,
故在上的最大值是,
即;
其次求函数在上的最小值,
∵
,
∴,
令,记,
由知转化为求函数在上的最小值,
又(当且仅当t=m时,取等号),
(ⅰ)若,
此时由,知,
解得:,
∴;
(ⅱ)若m>6,函数y=h(t)在上为减函数,
则,
由题意,有恒成立,∴m>6;
(ⅲ)若,函数y=h(t)在上为增函数,
则,
因此必须,
又由于知,此时m无解;
综上所述,m的取值范围是。
(Ⅲ)问题即证:,
也即证:,
用数学归纳法证明:
(ⅰ)当n=1时,左=0,右=0,显然不等式成立;
(ⅱ)假设n=k(k≥1)时,原不等式成立,
即,
则n=k+1时,
,
这就是说,n=k+1时,原不等式也成立;
综上所述,对任意正数a和正整数n,不等式都成立。
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