已知实数a≥,函数y=ex-ax是区间[-ln3,0)上的增函数,设函数f(x)=ax3-x,,(Ⅰ)求a的值并写出g(x)的表达式; (Ⅱ)求证:当x>0时,
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已知实数a≥,函数y=ex-ax是区间[-ln3,0)上的增函数,设函数f(x)=ax3-x,,(Ⅰ)求a的值并写出g(x)的表达式; (Ⅱ)求证:当x>0时,
题型:山东省模拟题
难度:
来源:
已知实数a≥
,函数y=e
x
-ax是区间[-ln3,0)上的增函数,设函数f(x)=ax
3
-
x,
,
(Ⅰ)求a的值并写出g(x)的表达式;
(Ⅱ)求证:当x>0时,
;
(Ⅲ)设
,其中n∈N* ,问数列{a
n
}中是否存在相等的两项?若存在,求出所有相等的两项;若不存在,请说明理由。
答案
(Ⅰ)解:∵函数y=e
x
-ax是区间[-ln3,0)上的增函数,
∴
在[-ln3,0)上恒成立,
∴
在x∈[-ln3,0)上恒成立,
即
,∴
,
又∵a≥
,
∴
,
∴
。
(Ⅱ)证明:当x>0时,原不等式等价于
,
两边取对数,即证:
,
即证:
,
设
,即证
,
事实上,设
,
则
,
∴
在
上单调递减,
∴
,∴
,
∴原不等式成立。
(Ⅲ)解:∵
,由(Ⅱ)可知,
,
令
,由
且n∈N*,得n≥4,
即n≥4时,
,得
,
∴
,
又
,
∴
,且
,
∴
中只可能是
与后面的项相等,
又
,
,
∴数列
中存在唯一的两项相等
。
举一反三
已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数),若a=(3
0.3
)·f(3
0.3
),b=(log
π
3)·f(log
π
3),
,则a,b,c的大小关系是
[ ]
A.a>b>c
B.c>b>a
C.c>a>b
D.a>c>b
题型:福建省模拟题
难度:
|
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已知函数
,
(Ⅰ)求函数f(x)在定义域上的单调区间;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)-a=0恰有两个不同实数解,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)已知实数x
1
,x
2
∈(0,1],且x
1
+x
2
=1,若不等式f(x
1
)·f(x
2
)≤x-ln(x-p)在x∈(p,+∞)上恒成立,求实数p的最小值.
题型:福建省模拟题
难度:
|
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已知函数
在区间[m,n]上为增函数,且f(m)f(n)=-4,
(Ⅰ)当a=3时,求m,n的值;
(Ⅱ)当f(n)-f(m)最小时,
①求a的值;
②若P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)(a<x
1
<x
2
<n)是f(x)图象上的两点,且存在实数x
0
,使得
,证明:x
1
<x
0
<x
2
。
题型:浙江省模拟题
难度:
|
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设函数f(x)=x
2
+2lnx,f′(x)表示f(x)的导函数,
(其中m∈R,且m>0),
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对任意的x
1
,x
2
∈
,都有f′(x
1
)≤g′(x
2
)成立,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)试证明:对任意正数a和正整数n,不等式
恒成立。
题型:安徽省模拟题
难度:
|
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已知f(x)=ln(x+2)-x
2
+bx+c,
(Ⅰ)若函数f(x)在x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直,且f(-1)=0,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)在区间[0,2]上单调递减,求b的取值范围。
题型:陕西省模拟题
难度:
|
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