试题分析:(1)遵循“求导数,求驻点,讨论驻点两侧导数值符号,确定极值”. (2) 根据 = ,得到△= = . 据此讨论:① 若a≥1,则△≤0, 此时≥0在R上恒成立,f(x)在R上单调递增 . 计算f(0),,得到结论. ② 若a<1,则△>0,= 0有两个不相等的实数根,不妨设为. 有. 给出当变化时,的取值情况表. 根据f(x1)·f(x2)>0, 解得a>.作出结论. 试题解析: (1)当时,, ∴. 令="0," 得 . 2分 当时,, 则在上单调递增; 当时,, 则在上单调递减; 当时,, 在上单调递增. 4分 ∴ 当时, 取得极大值为; 当时, 取得极小值为. 6分 (2) ∵ = , ∴△= = . ①若a≥1,则△≤0, 7分 ∴≥0在R上恒成立, ∴ f(x)在R上单调递增 . ∵f(0),, ∴当a≥1时,函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点. 9分 ② 若a<1,则△>0, ∴= 0有两个不相等的实数根,不妨设为. ∴. 当变化时,的取值情况如下表:
x
|
| x1
| (x1,x2)
| x2
|
|
| +
| 0
| -
| 0
| +
| f(x)
| ↗
| 极大值
| ↘
| 极小值
| ↗
| 11分 ∵, ∴. ∴ =
. 同理. ∴
. 令f(x1)·f(x2)>0, 解得a>. 而当时,, 13分 故当时, 函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点. 综上所述,a的取值范围是. 14分 |