(1)f′(x)=3x2+2ax+b ∵曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1. ∴即 ∵函数y=f(x)在x=-2时有极值 ∴f′(-2)=0即-4a+b=-12 ∴ | 3+2a+b=3 | 1+a+b+c=4 | -4a+b=-12 |
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解得a=2,b=-4,c=5 ∴f(x)=x3+2x2-4x+5 (2)由(1)得:f(x)=x3+2x2-4x+5,画出它的图象,如图, 由图可知, 若函数y=f(x)在[-2,m]上的值域为[,13], m的取值范围是:[,2]. (3)由(1)知,2a+b=0 ∴f′(x)=3x2-bx+b ∵函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增 ∴f′(x)≥0即3x2-bx+b≥0在[-2,1]上恒成立 ①当x=≥1时f′(x)的最小值为f′(1)=1-b+b≥0∴b≥6 ②当x=≤-2时,f′(x)的最小值为f′(-2)=12+2b+b≥0∴b∈∅ ③-2<<1时,f′(x)的最小值为 ≥0∴0≤b≤6 总之b的取值范围是b≥0 |