设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数a,b∈R.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切
题型:不详难度:来源:
设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数a,b∈R. (Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. (Ⅱ)设g(x)=f′(x)e-x.求函数g(x)的极值. |
答案
(I)∵f(x)=x3+ax2+bx+1∴f"(x)=3x2+2ax+b.令x=1,得f"(1)=3+2a+b=2a,解得b=-3 令x=2,得f"(2)=12+4a+b=-b,因此12+4a+b=-b,解得a=-,因此f(x)=x3-x2-3x+1 ∴f(1)=-, 又∵f"(1)=2×(-)=-3, 故曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-)=-3(x-1),即6x+2y-1=0.
(II)由(I)知g(x)=(3x2-3x-3)e-x 从而有g"(x)=(-3x2+9x)e-x 令g"(x)=0,则x=0或x=3 ∵当x∈(-∞,0)时,g"(x)<0, 当x∈(0,3)时,g"(x)>0, 当x∈(3,+∞)时,g"(x)<0, ∴g(x)=(3x2-3x-3)e-x在x=0时取极小值g(0)=-3,在x=3时取极大值g(3)=15e-3 |
举一反三
已知曲线C:f(x)=ax3-x2+x过点P(3,3). (1)求a的值; (2)求曲线C在点P(3,3)处的切线方程. |
已知函数f(x)=(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行. (Ⅰ)求k的值; (Ⅱ)求f(x)的单调区间; (Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)是f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2. |
曲线y=x3-2x+1在点(1,2)处的切线方程是( )A.y=x+1 | B.y=-x+1 | C.y=2x-2 | D.y=-2x+2 |
|
曲线y=-x3+x2在点(1,0)处的切线的倾斜角为( ) |
曲线y=x2-x上点A(2,2)处的切线与直线2x-y+5=0的夹角的正切值为______. |
最新试题
热门考点