已知函数f(x)=x2+alnx.(I)当a=-2时,求函数f(x)的极值;(II)若g(x)=f(x)+2x在[1,+∞)上是单调增函数,求实数a的取值范围.

已知函数f(x)=x2+alnx.(I)当a=-2时,求函数f(x)的极值;(II)若g(x)=f(x)+2x在[1,+∞)上是单调增函数,求实数a的取值范围.

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x2+alnx.
(I)当a=-2时,求函数f(x)的极值;
(II)若g(x)=f(x)+
2
x
在[1,+∞)上是单调增函数,求实数a的取值范围.
答案
(I)函数f(x)的定义域为(0,+∞)
当a=-2时,f′(x)=2x-
2
x
=
2(x+1)(x-1)
x

当x变化时,f′(x),f(x)的值变化情况如下表

由上表可知,函数f(x)单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞)
极小值是f(1)=1,没有极大值
(2)由g(x)=x2+alnx+
2
x
得g′(x)=2x+
a
x
-
2
x2

因为g(x)在[1,+∞)上是单调增函数
所以g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立
即不等式2x+
a
x
-
2
x2
≥0
在[1,+∞)上恒成立即a≥
2
x
-2x2
在[1,+∞)上恒成立
∅(x)=
2
x
-2x2
∅′(x)=-
2
x2
-4x
当x∈[1,+∞)时,∅′(x)=-
2
x2
-4x<0

∅(x)=
2
x
-2x2
在[1,+∞)上为减函数
∅(x)的最大值为∅(1)=0
∴a≥0
故a的取值范围为[0,+∞)
举一反三
设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数a,b∈R.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(Ⅱ)设g(x)=f′(x)e-x.求函数g(x)的极值.
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已知曲线C:f(x)=ax3-x2+x过点P(3,3).
(1)求a的值;
(2)求曲线C在点P(3,3)处的切线方程.
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已知函数f(x)=
lnx+k
ex
(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)是f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2
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曲线y=x3-2x+1在点(1,2)处的切线方程是(  )
A.y=x+1B.y=-x+1C.y=2x-2D.y=-2x+2
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曲线y=-x3+x2在点(1,0)处的切线的倾斜角为(  )
A.45°B.60°C.120°D.135°
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