若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值为-43,(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若f(x)=k有3个解,求实数k的取值范围.

若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值为-43,(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若f(x)=k有3个解,求实数k的取值范围.

题型:不详难度:来源:
若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值为-
4
3

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)=k有3个解,求实数k的取值范围.
答案
(Ⅰ)f′(x)=3ax2-b
由题意;





f′(2)=12a-b
f(2)=8a-2b+4=-
4
3
,解得





a=
1
3
b=4

∴所求的解析式为f(x)=
1
3
x3-4x+4

(Ⅱ)由(1)可得f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2)
令f′(x)=0,得x=2或x=-2,
∴当x<-2时,f′(x)>0,当-2<x<2时,f′(x)<0,当x>2时,f′(x)>0
因此,当x=-2时,f(x)有极大值
28
3

当x=2时,f(x)有极小值-
4
3

∴函数f(x)=
1
3
x3-4x+4
的图象大致如图.
由图可知:-
4
3
<k<
28
3

举一反三
已知函数f(x)=2x-2lnx
(Ⅰ)求函数在(1,f(1))的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值;
(Ⅲ)对于曲线上的不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果存在曲线上的点Q(x0,y0),且x1<x0<x2,使得曲线在点Q处的切线lP1P2,则称l为弦P1P2的陪伴切线.已知两点A(1,f(1)),B(e,f(e)),试求弦AB的陪伴切线l的方程.
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如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则
lim
△x→0
f(1+△x)-f(1)
△x
=______.(用数字作答)
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求曲线y=
1
x
和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积.
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已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.
(I)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当x∈[-3,3]时,f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围.
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设函数f(x)=x3-3x2+2x,若过f(x)图象上一点P(x0,y0)(x0≠0)的切线为l:y=kx,求k的值和P的坐标.
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