已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.(I)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)当

已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.(I)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)当

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已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.
(I)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当x∈[-3,3]时,f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(I)由f(x)是R上的奇函数,有f(0)=0,所以d=0,
因此f(x)=ax3+cx,对函数f(x)求导得f′(x)=3ax2+c,
由题意得:f(1)=-2,f′(1)=0
所以





a+c=-2
3a+c=0
解得a=1,c=-3
因此f(x)=x3-3x
(Ⅱ)f′(x)=3x2-3
令3x2-3>0,解得x<-1或x>1;
令3x2-3<0,解得-1<x<1,
因此f(x)的单调区间为(-∞,-1)和(1,+∞);
f(x)的单调减区间为(-1,1).
(Ⅲ)令f′(x)=0,得x1=-1或x2=1
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化如下表:

从上表可知,f(x)在区间[-3,3]上的最大值是18.
原命题等价于m大于f(x)在[-3,3]上的最大值,所以m>18.
故m的取值范围是(18,+∞)
举一反三
设函数f(x)=x3-3x2+2x,若过f(x)图象上一点P(x0,y0)(x0≠0)的切线为l:y=kx,求k的值和P的坐标.
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函数f(x)=exlnx在点(1,f(1))处的切线方程是(  )
A.y=2e(x-1)B.y=ex-1C.y=e(x-1)D.y=x-e
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已知曲线y=
x2
4
-3lnx
的一条切线的斜率为
5
4
,则切点的横坐标为(  )
A.1B.-
3
2
C.4D.4或-
3
2
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已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限,
(1)求P0的坐标;
(2)若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程.
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方程x3-3x+a+1=0在x∈[-2,+∞)上有三个不同的实根,则实数a的取值范围为______.
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