设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在点A(1,16)处
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设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程. |
答案
(1)∵f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8, ∴f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a, 又∵f(x)在x=3处取得极值, ∴f′(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,解得a=3. ∴f(x)=2x3-12x2+18x+8; (2)A(1,16)在f(x)上, 由(1)可知f′(x)=6x2-24x+18, f′(1)=6-24+18=0, ∴切线方程为y=16. |
举一反三
已知函数f(x)=x3-3x2+1,则在曲线y=f(x)的切线中,斜率最小的切线方程是______. |
已知函数f(x)=lnx-ax2+bx(a>0),且f′(1)=0. (Ⅰ)试用含有a的式子表示b,并求f(x)的极值; (Ⅱ)对于函数f(x)图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果在函数图象上存在点M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2)),使得点M处的切线l∥AB,则称AB存在“伴随切线”.特别地,当x0=时,又称AB存在“中值伴随切线”.试问:在函数f(x)的图象上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”,若存在,求出A、B的坐标,若不存在,说明理由. |
点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线x-y-4=0的距离的最小值是______. |
设函数f(x)=x3+ax+b的图象为曲线C,直线y=kx-2与曲线C相切于点(1,0).则k=______;函数f(x)的解析式为______. |
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