(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),∵f′(x)=-ax+b,f"(1)=1-a+b=0,∴b=a-1. 代入f′(x)=-ax+b,得f′(x)=-ax+a-1=-. 当f"(x)>0时,->0,由x>0,得(ax+1)(x-1)<0, 又a>0,∴0<x<1,即f(x)在(0,1)上单调递增; 当f"(x)<0时,-<0,由x>0,得(ax+1)(x-1)>0, 又a>0,∴x>1,即f(x)在(1,+∞)上单调递减. ∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 所以,当x=1时,f(x)的极大值为f(1)=ln1-a+b=-1 (Ⅱ)在函数f(x)的图象上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”. 假设存在两点A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设0<x1<x2,则y1=lnx1-a+(a-1)x1,y2=lnx2-a+(a-1)x2,kAB==(lnx2-lnx1)-a(-)+(a-1)(x2-x1) | x2-x1 | =-a(x1+x2)+a-1, 在函数图象x0=处的切线斜率k=f′(x0)=f′()=-a•+(a-1), 由-a(x1+x2)+a-1=-a•+(a-1) 化简得:=,ln==. 令=t,则t>1,上式化为:lnt==2-,即lnt+=2, 若令g(t)=lnt+,g′(t)=-=, 由t≥1,g"(t)≥0,∴g(t)在[1,+∞)在上单调递增,g(t)>g(1)=2. 这表明在(1,+∞)内不存在t,使得lnt+=2. 综上所述,在函数f(x)上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”. |