已知函数y=f(x)是R上的可导函数,当x≠0时,有f′(x)+f(x)x>0,则函数F(x)=xf(x)+1x的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3
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已知函数y=f(x)是R上的可导函数,当x≠0时,有f′(x)+f(x)x>0,则函数F(x)=xf(x)+1x的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3
题型:不详
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已知函数y=f(x)是R上的可导函数,当x≠0时,有
f′(x)+
f(x)
x
>0
,则函数
F(x)=xf(x)+
1
x
的零点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
由
F(x)=xf(x)+
1
x
=0,得xf(x)=-
1
x
,
设 g(x)=xf(x),
则g′(x)=f(x)+xf′(x),
∵x≠0时,有
f′(x)+
f(x)
x
>0
,
∴x≠0时,
f(x)+xf′(x)
x
>0
,
即当x>0时,g"(x)=f(x)+xf"(x)>0,此时函数g(x)单调递增,
此时g(x)>g(0)=0,
当x<0时,g"(x)=f(x)+xf"(x)<0,此时函数g(x)单调递减,
此时g(x)>g(0)=0,
作出函数g(x)和函数y=-
1
x
的图象,(直线只代表单调性和取值范围),由图象可知函数
F(x)=xf(x)+
1
x
的零点个数为1个.
故选:B.
举一反三
已知函数f(x)=x-1+
a
她
x
(a∈R,她为自然对数的底数).
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值;
(Ⅲ)当a=1的值时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=elnx,g(x)=lnx-x-1,h(x)=
1
2
x
2
.
(Ⅰ)求函数g(x)的极大值.
(Ⅱ)求证:存在x
0
∈(1,+∞),使
g(
x
0
)=g(
1
2
)
;
(Ⅲ)对于函数f(x)与h(x)定义域内的任意实数x,若存在常数k,b,使得f(x)≤kx+b和h(x)≥kx+b都成立,则称直线y=kx+b为函数f(x)与h(x)的分界线.试探究函数f(x)与h(x)是否存在“分界线”?若存在,请给予证明,并求出k,b的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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经过点P(2,1)且与曲线f(x)=x
3
-2x
2
+1相切的直线l的方程是______.
题型:不详
难度:
|
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己知函数f(x)=ax
3
+bx
2
+c,其导数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)的极大值是( )
A.a+b+c
B.8a+4b+c
C.3a+2b
D.c
题型:不详
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曲线y=x
3
+1在x=0处的切线的斜率是( )
A.-1
B.0
C.
1
2
D.1
题型:不详
难度:
|
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