已知函数f(x)=4x3-3x2sinθ+132,其中x∈R,θ∈(0,π).(Ⅰ)若f′(x)的最小值为-34,试判断函数f(x)的零点个数,并说明理由;(Ⅱ
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已知函数f(x)=4x3-3x2sinθ+132,其中x∈R,θ∈(0,π).(Ⅰ)若f′(x)的最小值为-34,试判断函数f(x)的零点个数,并说明理由;(Ⅱ
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=4
x
3
-3
x
2
sinθ+
1
32
,其中x∈R,θ∈(0,π).
(Ⅰ)若f′(x)的最小值为
-
3
4
,试判断函数f(x)的零点个数,并说明理由;
(Ⅱ)若函数f(x)的极小值大于零,求θ的取值范围.
答案
(I)f"(x)=12x
2
-6xsinθ,
当
x=
sinθ
4
时,f"(x)有最小值为
f′(x)=-
3
4
si
n
2
θ
,
所以
-
3
4
si
n
2
θ=-
3
4
,即sin
2
θ=1,
因为θ∈(0,π),所以sinθ=1,
所以f"(x)=12x
2
-6x,
所以f(x)在
(0,
1
2
)
上是减函数,在
(-∞,0),(
1
2
,+∞)
上是增函数,
而
f(0)=
1
32
>0
,
f(
1
2
)=-
7
32
<0
,
故函数f(x)的零点个数有3个;
(Ⅱ)f"(x)=12x
2
-6xsinθ
令f"(x)=0,解得
x
1
=0,
x
2
=
sinθ
2
,
由θ∈(0,π)知sinθ>0,根据(I),当x变化时,f"(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,
sinθ
2
)
sinθ
2
(
sinθ
2
,+∞)
f"(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
举一反三
函数
f(x)=
x
2
+a
x+1
(a∈R)
.
(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为
1
2
,求实数a的值;
(2)若f(x)在x=1取得极值,求函数f(x)的单调区间.
题型:不详
难度:
|
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在△A
n
B
n
C
n
中,记角A
n
、B
n
、C
n
所对的边分别为a
n
、b
n
、c
n
,且这三角形的三边长是公差为1的等差数列,若最小边a
n
=n+1,则
lim
n→∞
C
n
=( )
A.
π
2
B.
π
3
C.
π
4
D.
π
6
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=e
x
(ax+b),曲线y=f(x)经过点P(0,2),且在点P处的切线为l:y=4x+2.
(1)求常数a,b的值;
(2)求证:曲线y=f(x)和直线l只有一个公共点;
(3)是否存在常数k,使得x∈[-2,-1],f(x)≥k(4x+2)恒成立?若存在,求常数k的取值范围;若不存在,简要说明理由.
题型:不详
难度:
|
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曲线y=log
2
x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于______.
题型:不详
难度:
|
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记
a
n
为(1+x
)
n+1
的展开式中含x
n-1
项的系数,则
lim
n→∞
(
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n
)
=______.
题型:不详
难度:
|
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