(附加题)(Ⅰ)过曲线y=x2(x≥0)上某一点A作一切线l,使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为112,试求:(1)切点A的坐标;(2)过切点A的切线l的方
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(附加题)(Ⅰ)过曲线y=x2(x≥0)上某一点A作一切线l,使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为112,试求:(1)切点A的坐标;(2)过切点A的切线l的方
题型:不详
难度:
来源:
(附加题)(Ⅰ)过曲线y=x
2
(x≥0)上某一点A作一切线l,使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为
1
12
,试求:
(1)切点A的坐标;
(2)过切点A的切线l的方程;
(3)上述所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
答案
(1)设点A的坐标为(a,a
2
),过点A的切线的斜率为k=y"|
x=a
=2a,
故过点A的切线l的方程为y-a
2
=2a(x-a),
即y=2ax-a
2
,令y=0,得
x=
a
2
,
则
S
△ABC
=
1
2
•
a
2
•
a
2
=
a
3
4
,
S
△ABO
=
∫
a0
x
2
dx=
x
3
3
|
a0
=
a
3
3
,
∴
S=
S
△ABO
=
S
△ABC
=
a
3
12
=
1
12
∴a=1
或
S=
∫
a
2
0
[
1
2
a+
y
2a
-
y
]dy=(
1
2
ay+
y
2
4a
-
2
3
y
3
2
)
.
a
2
0
=
1
12
a
3
=
1
12
,
∴a=1
∴切点A的坐标为(1,1)(2)直线方程为y=2x-1
(3)l与x轴的交点为
(
1
2
,0)
,
故
V=π
∫
10
x
4
dx-π
∫
1
1
2
(2x-1)
2
dx=
1
5
π
x
5
.
1
0
-
1
6
π(2x-1
)
3
.
1
1
2
=
1
30
π
举一反三
若曲线y=x
4
的一条切线l与直线x+4y-2009=0垂直,则切线l的方程为______.
题型:不详
难度:
|
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定义F(x,y)=(1+x)
y
,x,y∈(0,+∞),令函数f(x)=F(1,log
2
(x
2
-4x+9))的图象为曲线C,曲线C与y轴交于点A(0,m),过坐标原点O向曲线C作切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S,求S的值.
题型:不详
难度:
|
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lim
x→
π
2
sin2x
cos(π-x)
=( )
A.-2
B.2
C.-1
D.1
题型:不详
难度:
|
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函数
f(x)=
x-1
x
2
+4x-5
(x>1)
a(x≤1)
在x=1处连续,则
lim
n→∞
2n
an+1
=______.
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=ax+ln(2-x)(x<2),设曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线为l.
(1)若直线l与圆(x+1)
2
+y
2
=1相切,求a的值;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
题型:不详
难度:
|
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