函数f(x)=ax+ln(2-x)(x<2),设曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线为l.(1)若直线l与圆(x+1)2+y2=1相切,求a的值;(2)求
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函数f(x)=ax+ln(2-x)(x<2),设曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线为l. (1)若直线l与圆(x+1)2+y2=1相切,求a的值; (2)求函数y=f(x)的单调区间. |
答案
(1)f(x)=ax2+2㏑(2-x).f(1)=a.故点(1,f(1))=(1,a). 求导得:f′(x)=2ax-,故f′(1)=2a-2. 故切线l:y-a=(2a-2)(x-1).即l:(2a-2)x-y+(2-a)=0. 又由题设知,直线l到(-1,0)的距离为1 即有=1.解得:a=1或a=; (2)f′(x)=2ax-=2×, 当a<0 时,由导数小于0得,因为分子二次项的系数为负, 所以可得函数的单调增区间为(-∞,a-),(a+,2); 由导数大于0得减区间(a-,a+),(2,+∞) 当0≤a≤1时,当x<2时,f′(x)<0恒成立,所以函数的单调减区间为 (-∞,2) 当>a>1时,由导数小于0得,函数的单调减区间为(-∞,a-),(a+,2); 由导数大于0得增区间(a-,a+),(2,+∞) 当a≥时,由导数小于0得,函数的单调减区间为(-∞,a-),(2,a+); 由导数大于0得增区间(a-,2),(a++∞) |
举一反三
曲线y=在点P(1,0)处的切线方程为______. |
曲线y=cosx-在x=处的切线方程是( )A.x-y+1-=0 | B.x+y+1=0 | C.x+y-1=0 | D.x-y-1-=0 |
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