已知函数f(x)=x-alnx,其中a为实数.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)是否存在实数a,使得对任意x∈(0,1

已知函数f(x)=x-alnx,其中a为实数.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)是否存在实数a,使得对任意x∈(0,1

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
x-a
lnx
,其中a为实数.
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)是否存在实数a,使得对任意x∈(0,1)∪(1,+∝),f(x)>


x
恒成立?若不存在,请说明理由,若在,求出a的值并加以证明.
答案
(1)a=2时,f(x)=
x-2
lnx

f′(x)=
xlnx-x+2
xln2x
,f′(2)=
1
ln2
,(2分)
又f(2)=0
所以切线方程为y=
1
ln2
(x-2)(2分)
(2)1°当0<x<1时,lnx<0,则
x-a
lnx


x
⇔a>x-


x
lnx
令g(x)=x-


x
lnx,g′(x)=
2


x
-2-lnx
2


x

再令h(x)=2


x
-2lnx,h′(x)=
1


x
-
1
x
=


x
-1
x
<0

当0<x<1时h′(x)<0,∴h(x)在(0,1)上递减,
∴当0<x<1时,h(x)>h(1)=0,
∴g′(x)=
h(x)
2


x
>0,
所以g(x)在(0,1)上递增,g(x)<g(1)=1,
所以a≥1(5分)
2°x>1时,lnx>0,则
x-a
lnx


x
⇔a<x-


x
lnx⇔<g(x)
由1°知当x>1时h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上递增
当x>1时,h(x)>h(1)=0,g′(x))=
h(x)
2


x
>0
所以g(x)在(1,+∞)上递增,∴g(x)>g(1)=1
∴a≤1;(5分)
由1°及2°得:a=1.(1分)
举一反三
由正数组成的等比数列{an)中,a1=
1
3
,a2•a4=9,则a5=______;
lim
n→∞
(
Sn
3n
)
=______
题型:延庆县一模难度:| 查看答案
lim
x→-2
x2+3x+2
x+2
=______.
题型:朝阳区一模难度:| 查看答案
极限
lim
x→0
(x+1)10-(x+1)6
x
=______.
题型:崇文区一模难度:| 查看答案
计算:
lim
n→∞
(1+
2
3n+1
)n
=______.
题型:卢湾区二模难度:| 查看答案
设函数f(x)=
1
3
x3-
a
2
x2+bx+c
,其中a>0,曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,确定b、c的值.
题型:湖北难度:| 查看答案
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