已知函数f(x)=13x3+ax2+bx（a，b∈R）．（Ⅰ）若曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），曲线C在点P处的切线与直线x+2y-14=0垂直，求a，

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已知函数f(x)=13x3+ax2+bx（a，b∈R）．（Ⅰ）若曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），曲线C在点P处的切线与直线x+2y-14=0垂直，求a，

题型：珠海二模难度：来源：
已知函数f(x)=
1
3
x3+ax2+bx（a，b∈R）．
（Ⅰ）若曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），曲线C在点P处的切线与直线x+2y-14=0垂直，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数g(x)=(m2-1)[f(x)-
7
3
x]（m为实常数，m≠±1）的极大值与极小值之差；
（Ⅲ）若f（x）在区间（1，2）内存在两个不同的极值点，求证：0＜a+b＜2．
答案
（Ⅰ）求导函数可得f"（x）=x2+2ax+b，
∵直线x+2y-14=0的斜率为-
1
2
，∴曲线C在点P处的切线的斜率为2，∴f"（1）=1+2a+b=2…①
∵曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），∴f(1)=
1
3
+a+b=2…②
由①②得：a=-
2
3
，b=
7
3
…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)=
1
3
x3-
2
3
x2+
7
3
x，∴g(x)=
m2-1
3
(x3-2x2)，∴g′(x)=(m2-1)x(x-
4
3
)，由g"（x）=0⇒x=0，或x=
4
3
．
当m2-1＞0，即m＞1，或m＜-1时，x，g"（x），g（x）变化如下表
解析
举一反三
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x（-∞，0）0(0，
4
3
)
4
3
(
4
3
，+∞)
g"（x）+0-0+
g（x）极大值极小值
x（-∞，0）0(0，
4
3
)
4
3
(
4
3
，+∞)
g"（x）-0+0-
g（x）极小值极大值
lim
x→+∞


x
(


x+1
-


x-1
)的值为（　　）
A．0B．不存在C．
1
2
D．1
若f（x）在[a，b]上连续且单调递减，又f（x）在[a，b]上的值域为[m，n]，则下列正确的是（　　）
A．
lim
x→a+
f（x）=n		B．
lim
x→a-
f（x）=m
C．
lim
x→b+
f（x）=m		D．
lim
x→b-
f（x）=n
lim
n→∞
(1-
1
22
)(1-
1
32
)(1-
1
42
)…(1-
1
n2
)=______．
已知函数f（x）=lnx-ax．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值，
（Ⅱ）已知过点P（1，f（1）），Q（e，f（e））的直线为l，则必存在x0∈（1，e），使曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与直线l平行，求x0的值，
（Ⅲ）已知函数g（x）图象在[0，1]上连续不断，且函数g（x）的导函数g"（x）在区间（0，1）内单调递减，若g（1）=0，试用上述结论证明：对于任意x∈（0，1），恒有g（x）＞g（0）（1-x）成立．
若
lim
x→-1
x2+3x+m
x+1
=n，则m=______，n=______．