已知函数f(x)=lnx-ax.(Ⅰ)求函数f(x)的极值,(Ⅱ)已知过点P(1,f(1)),Q(e,f(e))的直线为l,则必存在x0∈(1,e),使曲线y=
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已知函数f(x)=lnx-ax. (Ⅰ)求函数f(x)的极值, (Ⅱ)已知过点P(1,f(1)),Q(e,f(e))的直线为l,则必存在x0∈(1,e),使曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线l平行,求x0的值, (Ⅲ)已知函数g(x)图象在[0,1]上连续不断,且函数g(x)的导函数g"(x)在区间(0,1)内单调递减,若g(1)=0,试用上述结论证明:对于任意x∈(0,1),恒有g(x)>g(0)(1-x)成立. |
答案
(Ⅰ)f"(x)=-a=(x>0) ①若a≤0,f"(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时f(x)不存在极值. ②若a>0令f"(x)=0得x=, 当x∈(0,)时,f′(x)>0,此时函数f(x)在此区间上单调递增; 当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,此时函数f(x)在此区间上单调递减; ∴f(x)极大值=f()=-lna-1 综上:当a≤0时,f(x)没有极大值,当a>0时,f(x)极大值=-lna-1. (Ⅱ)直线l的斜率k==-a+, ∵x0∈(1,e), 依题意有f"(x0)=-a+即-a=-a+ 得x0=e-1∈(1,e), 故x0=e-1 (Ⅲ)①f"(x0)=或() 由以上结论得:对区间[0,x]存在x1∈[0,x]使g"(x1)= 同样对区间[x,1]存在x2∈[x,1]使g"(x2)== 依题意得:g"(x1)>g"(x2)即> 化简得g(x)>g(0)(1-x)成立. |
举一反三
若(-ax+b)=2,则a=______,b=______. |
曲线y=sinx+cosx在点(,1)处的切线斜率为______. |
设f(x)=x3+ax2+bx+1的导函数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数a,b∈R,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______. |
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