（理）已知f（x）=ax+bx+2-2a（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．（I）求a，b满足的关系式；（II）若f（x）≥2l

题型：安徽模拟难度：来源：

（理）已知f（x）=ax+

b

x

+2-2a（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．
（I）求a，b满足的关系式；
（II）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（III）证明：1+

1

3

+

1

5

+…+

1

2n-1

＞

1

2

(2n+1)+

n

2n+1

（n∈N₊）

答案

（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)=a-

b

x2

，根据题意f′（1）=a-b=2，即b=a-2    …3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=ax+

a-2

x

+2-2a，
令g（x）=f（x）-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）
则g（1）=0，g′（x）=

a(x-1)(x- 2-a a )

x2

①当0＜a＜1时，

2-a

a

＞1，
若1＜x＜

2-a

a

，则g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）减函数，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒不成立．
②a≥1时，

2-a

a

≤1，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函数，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．
综上所述，所求a的取值范围是[1，+∞）     …8分
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知当a≥1时，f（x）≥2lnx在1，+∞）上恒成立．
取a=1得x-

1

x

≥2lnx，令x=

2n+1

2n-1

＞1得

2n+1

2n-1

-

2n-1

2n+1

＞2ln

2n+1

2n-1

，
即

2

2n-1

-

2

2n+1

＞2ln

2n+1

2n-1

所以

1

2n-1

＞

1

2

ln

2n+1

2n-1

+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得到1+

1

3

+

1

5

+…+

1

2n-1

＞

1

2

ln(2n+1)+

n

2n+1

（n∈N₊）…13分．