已知函数f(x)=13x3+mx2x≤0ex-1x>0(1)讨论函数f(x)的极值情况;(2)设g(x)=ln(x+1),当x1>x2>0时,试比较f(x1-x

已知函数f(x)=13x3+mx2x≤0ex-1x>0(1)讨论函数f(x)的极值情况;(2)设g(x)=ln(x+1),当x1>x2>0时,试比较f(x1-x

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=





1
3
x3+mx2
x≤0
ex-1x>0

(1)讨论函数f(x)的极值情况;
(2)设g(x)=ln(x+1),当x1>x2>0时,试比较f(x1-x2)与g(x1-x2)及g(x1)-g(x2)三者的大小;并说明理由.
答案
(1)当x>0时,f(x)=ex-1在(0,+∞)单调递增,且f(x)>0;
当x≤0时,f"(x)=x2+2mx.
①若m=0,f′(x)=x2≥0,f(x)=
1
3
x3
在(-∞,0)上单调递增,且f(x)=
1
3
x3≤0

又f(0)=0,∴f(x)在R上是增函数,无极植;
②若m<0,f′(x)=x(x+2m)>0,则f(x)=
1
3
x3+mx2
在(-∞,0)单调递增,同①可知f(x)在R上也是增函数,无极值;(4分)
③若m>0,f(x)在(-∞,-2m)上单调递增,在(-2m,0)单调递减,
又f(x)在(0,+∞)上递增,故f(x)有极小值f(0)=0,(6分)
(2)当x>0时,先比较ex-1与ln(x+1)的大小,
设h(x)=ex-1-ln(x+1)(x>0)
h′(x)=ex-
1
x+1
>0
恒成立
∴h(x)在(0,+∞)是增函数,h(x)>h(0)=0
∴ex-1-ln(x+1)>0即ex-1>ln(x+1)
也就是f(x)>g(x),对任意x>0成立.
故当x1-x2>0时,f(x1-x2)>g(x1-x2)(10分)
再比较g(x1-x2)=ln(x1-x2+1)与g(x1)-g(x2)=ln(x1+1)-ln(x2+1)的大小.
g(x1-x2)-[g(x1)-g(x2)]
=ln(x1-x2+1)-ln(x1+1)+ln(x2+1)
=ln
(x1-x2+1)(x2+1)
x1+1
=ln(
x2(x1-x2)
x1+1
+1]>0

∴g(x1-x2)>g(x1)-g(x2
∴f(x1-x2)>g(x1-x2)>g(x1)-g(x2).(13分)
举一反三
直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(l,3),则k的值等于(  )
A.2B.-1C.1D.-2
题型:郑州一模难度:| 查看答案
y=x3在点P(2,8)处的切线方程是(  )
A.12x+y-16=0B.12x-y-16=0C.12x-y+16=0D.12x+y+16=
题型:不详难度:| 查看答案
已知等比数列{an}的前n项和Sn=r-
1
2n
,则常数r=______,
lim
n→∞
2nan
Sn
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值4,且|a|<|b|.
(1)求a、b的值,并确定f(1)是函数的极大值还是极小值;
(2)若对于任意x∈[0,2]的时,都有x3+ax2+bx>c2+6c成立,求c的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
函数f(x)=x2+|lnx-1|,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.