已知函数f(x)=ex,直线l的方程为y=kx+b.(1)求过函数图象上的任一点P(t,f(t))的切线方程;(2)若直线l是曲线y=f(x)的切线,求证:f(
题型:惠州一模难度:来源:
已知函数f(x)=ex,直线l的方程为y=kx+b. (1)求过函数图象上的任一点P(t,f(t))的切线方程; (2)若直线l是曲线y=f(x)的切线,求证:f(x)≥kx+b对任意x∈R成立; (3)若f(x)≥kx+b对任意x∈[0,+∞)成立,求实数k、b应满足的条件. |
答案
(1)函数f(x)=ex, 分析可得f(x)=ex与直线相切,只有一个交点即切点, 故过函数图象上的任一点P(t,f(t))的切线中P即为切点, ∵f"(x)=ex, ∴切线l的方程为y-et=et(x-t) 即y=etx+et(1-t) (2)由(1) 记函数F(x)=f(x)-kx-b, ∴F(x)=ex-etx-et(1-t) ∴F"(x)=ex-et ∴F(x)在x∈(-∞,t)上单调递减,在x∈(t,+∞)为单调递增 故F(x)min=F(t)=et-ett-et(1-t)=0 故F(x)=f(x)-kx-b≥0即f(x)≥kx+b对任意x∈R成立 (3)设H(x)=f(x)-kx-b=ex-kx-b,x∈[0,+∞) ∴H"(x)=ex-k,x∈[0,+∞) ①当k≤1时,H"(x)≥0,则H(x)在x∈[0,+∞)上单调递增 ∴H(x)min=H(0)=1-b≥0, ∴b≤1,即符合题意 ②当k>1时,H(x)在x∈[0,lnk)上单调递减,x∈[lnk,+∞)上单调递增 ∴H(x)min=H(lnk)=k-klnk-b≥0 ∴b≤k(1-lnk) 综上所述满足题意的条件是或 |
举一反三
已知直线x-y-1=0与y=x2+a相切,则a等于( ) |
已知函数f(x)=x3-3x. (Ⅰ)求f(x)极值; (Ⅱ)当x∈[0,a](a>0)时,求f(x)的最大值和最小值. |
已知函数f(x)=2x-2lnx (Ⅰ)求函数在(1,f(1))的切线方程 (Ⅱ)求函数f(x)的极值 (Ⅲ)对于曲线上的不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果存在曲线上的点Q(x0,y0),且x1<x0<x2,使得曲线在点Q处的切线l∥P1P2,则称l为弦P1P2的陪伴切线.已知两点A(1,f(1)),B(e,f(e)),试求弦AB的陪伴切线l的方程. |
设函数f(x)=-x(x-a)2 (Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)若a>0,且方程f(x)+a=0有三个不同的实数解,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+5存在极大值和极小值,则实数a的取值范围是______. |
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