设函数f(x)=-x(x-a)2(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)若a>0,且方程f(x)+a=0有三个不同的实数解,
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设函数f(x)=-x(x-a)2 (Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)若a>0,且方程f(x)+a=0有三个不同的实数解,求a的取值范围. |
答案
(1)当a=1时f(x)=-x3+2x2-x, 所以f′(x)=-3x2+4x-1 当x=2时y=-2,所以切点为(2,-2) 所以切线的斜率k=f′(2)=-5. 所以切线方程为5x+y-8=0. (2)设g(x)=f(x)+a=-x3+2ax2-a2x+a 所以g′(x)=-3x2+4ax-a2=-(x-a)(3x-a) 令g′(x)<0得 因为a>0所以x>a或x< 所以g(x)在(-∞,),(a,+∞)是单调减函数,在(,a)上是单调增函数. 因为方程g(x)=0有三个不同的实数解, 所以只需g()<0且g(a)>0即可. 解得a> 所以a的取值范围为(,+∞). |
举一反三
已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+5存在极大值和极小值,则实数a的取值范围是______. |
已知f(x)=x3+ax+b(a,b∈R)在x=2处取到极小值-. (1)求a,b的值; (2)若 f(x)≤m2+m+对x∈[-4,3]恒成立,求实数m的取值范围. |
设曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线为l,则直线l与坐标轴围成的三角形面积为( ) |
曲线y=ex在点(2,e2)处的切线的横截距为( ) |
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