已知函数f(x)=aln(x+1)+12x2-ax+1(a＞0)．（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间和

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已知函数f(x)=aln(x+1)+

x2-ax+1(a＞0)．
（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间和极值．

答案

（Ⅰ）f（0）=1，f′ (x)=

x+1

+x-a=

x(x-a+1)

x+1

，（2分）
f′（0）=0，所以函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（14分）
（Ⅱ）函数的定义域为（-1，+∞），
令f"（x）=0，得

x(x-a+1)

x+1

=0，
解得：x=0，x=a-1，（15分）
当a＞1时，列表：

解析

举一反三

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（-1，0）

（0，a-1）

a-1

（a-1，+∞）

f′（x）

f（x）

↗

极大

↘

极小

↗

（-1，a-1）

a-1

（a-1，0）

（0，+∞）

f′（x）

f（x）

↗

极大

↘

极小

↗

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R，a≠0），-2是f（x）的一个零点，又f（x）在x=0处有极值，在区间（-6，-4）和（-2，0）上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反．
（1）求c的值；
（2）求

的取值范围；
（3）当b=3a时，求使A={y|y=f（x），-3≤x≤2}，A⊆[-3，2]成立的实数a的取值范围．

已知函数y=x²+（2m+1）x+m²-1（m为实数）
（1）m是什么数值时，y的极值是0？
（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L₁上．

已知函数f（x）=x³+ax²-2ax-3a，（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线x+6y=0垂直，求a的值．
（Ⅱ）证明：对于∀a∈R都∃x∈[-1，4]，使得f（x）≤f′（x）成立．

已知函数f（x）=xlnx．
（I）若函数g（x）=f（x）+x²+ax+2有零点，求实数a的最大值；
（II）若∀x＞0，

f(x)

≤x-kx²-1恒成立，求实数k的取值范围．

函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），
（1）当a＞0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）当a＞3时，求对于任意实数k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）恒成立的x取值范围．