已知函数f(x)=x3+3(a-1)x2-12ax+b在x=x1处取得极大值M,在x=x2处取得极小值N,(1)若f(x)的图象在其与y轴的交点处的切线方程是2

已知函数f(x)=x3+3(a-1)x2-12ax+b在x=x1处取得极大值M,在x=x2处取得极小值N,(1)若f(x)的图象在其与y轴的交点处的切线方程是2

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x3+3(a-1)x2-12ax+b在x=x1处取得极大值M,在x=x2处取得极小值N,
(1)若f(x)的图象在其与y轴的交点处的切线方程是24x-y-10=0,求x1,x2,M,N的值
(2)若f(1)>f(2),且x2-x1=4,b=10求f(x)的单调区间及M,N的值.
答案
f′(x)=3x2+6(a-1)x-12a=3(x+2a)(x-2)
(1)由题设知f(0)=-10,且f"(0)=24
∴b=-10,a=-2(2分)
∴f(x)=x3-9x2+24x-10   f′(x)=3(x-4)(x-2)
当x∈(-∞,2]时f′(x)>0,f(x)在(-∞,2]上单调递增,
当x∈[2,4]时f′(x)<0,f(x)在[2,4]上单调递减,
当x∈[4,+∞)时f′(x)>0,f(x)在(-∞,2]上单调递增,(2分)
∴当x=2时,f(x)取得极大值10,当x=4时,f(x)取得极小值6
即x1=2,x2=4,M=10,N=6(2分)
(2)∵f′(x)=3(x+2a)(x-2)
若-2a>2,则f(x)在(-∞,2]上递增,与f(1)>f(2)矛盾
若-2a=2,则f"(x)≥0,f(x)无极值,与题设矛盾,(2分)
∴-2a<2,f(x)在(-∞,-2a]和[2,+∞)上单调递增,在[-2a,2]上单调递减,
∴x1=-2a,x2=2,从而2+2a=4,∴a=1(3分)
故f(x)的单调递增区间是(-∞,-2]和[2,+∞),单调递减区间是[-2,2]f(x)=x3-12x+10,M=26,N=-6(2分)
举一反三
已知曲线y=
1
3
x3+
4
3
,则过点P(2,4)的切线方程是(  )
A.4x-y-4=0或y=x+2B.4x-y+4=0
C.x-4y+14=0D.2x-y=0
题型:杭州一模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
x2+bx+c
,且f(x)在x=1处取得极值.
(1)求b的值;
(2)若当x∈[-1,
9
4
]时,f(x)<c2-
7
6
恒成立,求c的取值范围;
(3)对任意的x1,x2∈[-1,
9
4
],|f(x1)-f(x2)|≤
14
3
是否恒成立?如果成立,给出证明,如果不成立,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
若幂函数的图象f(x)经过点A(
1
4
1
2
),则它在点A处的切线方程为(  )
A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-4y+1=0D.4x+y+1=0
题型:不详难度:| 查看答案
过点(0,1)且与曲线y=
x+1
x-1
在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为(  )
A.2x-y+1=0B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0D.x-2y+2=0
题型:济南二模难度:| 查看答案
若抛物线f(x)=x2+ax与直线f"(x)-1-y=0相切,则此切线方程为 ______.
题型:不详难度:| 查看答案
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