设函数f(x)=x3+2bx2+cx-2的图象与x轴相交于一点P(t,0),且在点P(t,0)处的切线方程是y=5x-10.(I)求t的值及函数f(x)的解析式
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设函数f(x)=x3+2bx2+cx-2的图象与x轴相交于一点P(t,0),且在点P(t,0)处的切线方程是y=5x-10.(I)求t的值及函数f(x)的解析式
题型:不详
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设函数f(x)=x
3
+2bx
2
+cx-2的图象与x轴相交于一点P(t,0),且在点P(t,0)处的切线方程是y=5x-10.
(I)求t的值及函数f(x)的解析式;
(II)设函数g(x)=f(x)+
1
3
mx
(1)若g(x)的极值存在,求实数m的取值范围.
(2)假设g(x)有两个极值点x
1
,x
2
(且x
1
≥0,x
2
≥0),求x
21
+x
22
关于m的表达式φ(m),并判断φ(m)是否有最大值,若有最大值求出它;若没有最大值,说明理由.
答案
(I)设切点P(t.0)代入直线方程y=5x-10,得P (2,0),
且有f(2)=0,即4b+c+3=0…①…(2分)
又f"(x)=3x
2
+4bx+c,由已f"(2)=12+8b+c=5得8b+c+7=0 …②
联立①②,解得b=-1,c=1.
所以函数的解析式f(x)=x
3
-2x
2
+x-2 …(4分)
(II)(1)因为
g(x)=
x
3
-2
x
2
+x-2+
1
3
mx
,
g′(x)=3
x
2
-4x+1+
1
3
m=0
,
当函数有极值时,则△≥0,方
3
x
2
-4x+1+
1
3
m=0
有实数解,
由△=4(1-m)≥0,得m≤1. …(8分)
①当m=1时,g"(x)=0有实数x=
2
3
,在x=
2
3
的左右两侧均g"(x)>0,故函数g(x)无极值
②当m<1时,g"(x)=0有两个实数根x
1
,x
2
,(x
1
<x
2
).
g"(x),g(x)情况如下表:
x
(-∞,x
1
)
x
1
(x
1
,x
2
)
x
2
(x
2
,+∞)
g"(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
举一反三
已知函数
f(x)=
1
3
x
3
-
1
2
(a+
1
a
)
x
2
+x(a>0)
,则f(x)在点(1,f(1))处切线斜率最大时的切线方程为______.
题型:不详
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已知直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线,则b的值为( )
A.-1
B.0
C.1
D.e
题型:不详
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已知P(x,y)是函数y=e
x
+x图象上的点,则点P到直线2x-y-3=0的最小距离为( )
A.
5
5
B.
2
5
5
C.
3
5
5
D.
4
5
5
题型:不详
难度:
|
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已知对任意m∈R,直线x+y+m=0都不是f(x)=x
3
-3ax(a∈R)的切线,则a的取值范围是( )
A.
a>
1
3
B.
a≥
1
3
C.
a<
1
3
D.
a≤
1
3
题型:不详
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|
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曲线y=x(2lnx+1)在点(1,1)处的切线方程是______.
题型:不详
难度:
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