已知函数f（x）=mx3+3x2-3x，m∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=-1处取得极值，试求m的值，并求f（x）在点M（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设m
题型：朝阳区一模难度：来源：
已知函数f（x）=mx3+3x2-3x，m∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=-1处取得极值，试求m的值，并求f（x）在点M（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设m＜0，若函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围． |
答案
（Ⅰ）f"（x）=3mx2+6x-3．
因为函数f（x）在x=-1处取得极值，所以f"（-1）=0，解得m=3．
于是函数f（x）=3x3+3x2-3x，f（1）=3，f"（x）=9x2+6x-3．
函数f（x）在点M（1，3）处的切线的斜率k=f"（1）=12，
则f（x）在点M处的切线方程为12x-y-9=0．（6分）
（Ⅱ）当m＜0时，f"（x）=3mx2+6x-3是开口向下的抛物线，
要使f"（x）在（2，+∞）上存在子区间使f"（x）＞0，
应满足或
解得-≤m＜0，或-＜m＜-，所以m的取值范围是(-，0)．（14分） |
举一反三
已知函数f（x）=x（1+x）2
（1）求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）设g（x）=ax2，若对于任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围． |
| 直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点（2，3），则b的值为：______． |
已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤t，求实数t的最小值；
（Ⅲ）当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f（x）的表达式． |
曲线y=x3-1在x=1处的切线方程为（ ）| A．y=2x-2 | B．y=3x-3 | C．y=1 | D．x=1 |
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