已知方程x2-8x+6lnx-m=0有三个不同的实数解,则实数m范围为______.
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已知方程x2-8x+6lnx-m=0有三个不同的实数解,则实数m范围为______. |
答案
方程x2-8x+6lnx-m=0有三个不同的实数解 则函数m(x)=x2-8x+6lnx-m的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点. ∵m(x)=x2-8x+6lnx-m, ∴ϕ′(x)=2x-8+==(x>0), 当x∈(0,1)时,m"(x)>0,m(x)是增函数; 当x∈(0,3)时,m"(x)<0,m(x)是减函数; 当x∈(3,+∞)时,m"(x)>0,m(x)是增函数; 当x=1,或x=3时,m"(x)=0. ∴m(x)最大值=m(1)=-m-7,m(x)最小值=m(3)=-m+6ln3-15. ∵当x充分接近0时,m(x)<0,当x充分大时,m(x)>0. ∴要使m(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须 | ϕ(x)最大值=-m-7>0 | ϕ(x)最小值=-m+6ln3-15<0 |
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即6ln3-15<m<-7. 故答案为:6ln3-15<m<-7 |
举一反三
已知函数f(x)=lnx+ax. (I)若对一切x>0,f(x)≤1恒成立,求a的取值范围; (II)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x)2)(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=k成立. |
曲线y=x3-6x2-x+6的斜率最小的切线方程为______. |
曲线y=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1,则此切线方程为______. |
已知函数f(x)=x-sinx-cosx的图象在点A(x0,y0)处的切线斜率为1,则tanx0=______. |
(选作)函数f(x)=x3-ax2+x在x=1处的切线与直线y=2x平行,则a的值为( ) |
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