已知在函数f(x)=mx3-x的图象上以点N(1,n)为切点的切线的倾斜角为π4.(Ⅰ)求m,n的值;(Ⅱ)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-19
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已知在函数f(x)=mx3-x的图象上以点N(1,n)为切点的切线的倾斜角为π4.(Ⅰ)求m,n的值;(Ⅱ)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-19
题型:不详
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已知在函数f(x)=mx
3
-x的图象上以点N(1,n)为切点的切线的倾斜角为
π
4
.
(Ⅰ)求m,n的值;
(Ⅱ)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-1992对于x∈[-1,3]恒成 立?如果存在,请求出最小的正整数k,如果不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)f′(x)=3mx
2
-1,f′(1)=1,∴3m-1=1,∴
m=
2
3
.
∴f(x)=
2
3
x
3
-x
,
f(1)=
2
3
-1
=
-
1
3
.
又点N(1,n)在曲线上,∴
n=-
1
3
.…(6分)
(Ⅱ)由f′(x)=2x
2
-1,x∈[-1,3]知,
当x∈
(-1, -
2
2
)
∪(
2
2
,3)
时f′(x)>0;
当x∈
(-
2
2
,
2
2
)
时f′(x)<0,
∴
f(x)在[-1,-
2
2
]
和
[
2
2
,3]
上递增,在
[-
2
2
,
2
2
]
上递减.…(8分)
∵
f(-
2
2
)=
2
3
,f(3)=15
,∴f(x)在[-1,3]上最大值为15.∴k-1992≥15,k≥2007.
故存在最小自然数2007.…(12分)
举一反三
若函数f(x)在R上满足f(x)=e
x
+x
2
-x+sinx,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是( )
A.y=2x-1
B.y=3x-2
C.y=x+1
D.y=-2x+3
题型:不详
难度:
|
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设函数
f(x)=lnx+
a
x-1
在(0,
1
e
)
内有极值.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若x
1
∈(0,1),x
2
∈(1,+∞),求证:
f(
x
2
)-f(
x
1
)>e+2-
1
e
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ln(2x+1)+e
3x
(4x
2
+2x+6),
(1)求
lim
x→0
f(x)-6
x
的值;
(2)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.
题型:不详
难度:
|
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已知方程x
2
-8x+6lnx-m=0有三个不同的实数解,则实数m范围为______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=lnx+ax.
(I)若对一切x>0,f(x)≤1恒成立,求a的取值范围;
(II)在函数f(x)的图象上取定两点A(x
1
,f(x
1
)),B(x
2
,f(x)
2
)(x
1
<x
2
),记直线AB的斜率为k,证明:存在x
0
∈(x
1
,x
2
),使f′(x
0
)=k成立.
题型:不详
难度:
|
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