(1)函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞) 求导函数f′(x)=-= ∵函数f(x)=lnx+在(0,)内有极值 ∴f′(x)=0在(0,)内有解,令g(x)=x2-(a+2)x+1=(x-α)(x-β) ∵αβ=1,不妨设0<α<,则β>e ∵g(0)=1>0, ∴g()=-+1<0, ∴a>e+-2 (2)证明:由f′(x)>0,可得0<x<α或x>β;由f′(x)<0,可得α<x<1或1<x<β ∴f(x)在(0,α)内递增,在(α,1)内递减,在(1,β)内递减,在(β,+∞)递增 由x1∈(0,1),可得f(x1)≤f(α)=lnα+ 由x2∈(1,+∞),可得f(x2)≥f(β)=lnβ+ ∴f(x2)-f(x1)≥f(β)-f(α) ∵αβ=1,α+β=a+2 ∴f(β)-f(α )=2lnβ+a×=2lnβ+a×=2lnβ+β - 记h(β)=2lnβ+β -(β>e) 则h′(β)=+1+>0,h(β)在(0,+∞)上单调递增 ∴h(β)>h(e)=e+2- ∴f(x2)-f(x1)>e+2- |