(1)∵f(x)=x3-x2+ax+b,a=1,b=0, ∴dx =(x-1+)dx =(x2-x+lnx) =ln2+. (2)f′(x)=3x2-2x+a, 由f′(1)=1+a=0,解得a=-1. ∴f(x)=x3-x2-x+b, f′(x)=3x2-2x-1 =3(x-1)(x+), ∴当x<-时,f′(x)>0,f(x)是增函数; 当-<x<1时,f′(x)<0,f(x)是减函数. 当x>1时,f′(x)>0,f(x)是增函数. ∵f(-)=+b,f(1)=-1+b, ∴函数f(x)只有一个零点, ∴+b<0,或-1+b>0, 解得b的取值范围是(-∞,-)∪(1,+∞). (3)∵f′(x)=3x2-2x+a, 函数f(x)在区间(-2,2)上不是单调函数, ∴3x2-2x+a=0在R上有两个不相等的实根, 且在(-2,2)至少有一个根, ∴△=4-12a>0,解得a<. 由∃x∈(-2,2),使得:3x2-2x+a=0, 知a=-3x2+2x,∴-16<a≤, 综上所述,a的取值范围是(-16,). |