已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,和直线m:y=kx+9,又f′(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k的值,
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已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,和直线m:y=kx+9,又f′(-1)=0. (1)求a的值; (2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由. |
答案
(1)f′(x)=3ax2+6x-6a,f′(-1)=0, 即3a-6-6a=0,∴a=-2. (2)∵直线m恒过定点(0,9),先求直线m是曲线y=g(x)的切线,设切点为(x0,3x02+6x0+12), ∵g′(x0)=6x0+6, ∴切线方程为y-(3x02+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将点(0,9)代入,得x0=±1, 当x0=-1时,切线方程为y=9; 当x0=1时,切线方程为y=12x+9. 由f′(x)=0得-6x2+6x+12=0,即有x=-1或x=2, 当x=-1时,y=f(x)的切线方程为y=-18; 当x=2时,y=f(x)的切线方程为y=9. ∴公切线是y=9. 又有f′(x)=12得-6x2+6x+12=12,∴x=0或x=1. 当x=0时,y=f(x)的切线方程为y=12x-11; 当x=1时,y=f(x)的切线方程为y=12x-10, ∴公切线不是y=12x+9. 综上所述公切线是y=9,此时存在,k=0. |
举一反三
与直线2x-y-4=0平行且与曲线y=5相切的直线方程是______. |
函数y=的图象在点(1,2)处的切线方程是( )A.y=2x | B.y=-2x | C.y=-2x-4 | D.y=-2x+4 |
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函数f(x)=x3-x2+3x-1斜率最小的切线方程为______. |
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