已知函数f(x)=x3+x,g(x)=x2+ax+4x.(1)若曲线y=f(x)的切线过点(1,2),求其切线方程;(2)若对任意的x1∈[1,3],存在x2∈

已知函数f(x)=x3+x,g(x)=x2+ax+4x.(1)若曲线y=f(x)的切线过点(1,2),求其切线方程;(2)若对任意的x1∈[1,3],存在x2∈

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x3+x,g(x)=
x2+ax+4
x

(1)若曲线y=f(x)的切线过点(1,2),求其切线方程;
(2)若对任意的x1∈[1,3],存在x2∈[1,3],使得f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范围;
(3)若对任意的x1,x2∈[1,3]都有f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范围.
答案
(1)∵f(x)=x3+x,
∴f"(x)=3x2+1.
设切点为(x0,x03+x0),
则其切线方程为:y-(x03+x0)=(3x02+1)(x-x0).
又切线过点(1,2),
∴(x0-1)2(2x0+1)=0,
∴x0=1或x0=-
1
2

∴所求切线方程为:4x-y-2=0或7x-4y+1=0.
(2)“对任意的x1∈[1,3],存在x2∈[1,3],使得f(x1)≥g(x2)成立”
等价于f(x)min≥g(x)min
∵f(x)=x3+x在[1,3]上是单调递增函数,
∴f(x)min=f(1)=2.
g(x)=
x2+ax+4
x
=x+
4
x
+a
在[1,2]上单调递减,
在[2,3]上单调递增,
∴g(x)min=g(2)=4+a,
∴4+a≤2,
即a≤-2.
(3)“对任意的x1,x2∈[1,3]都有f(x1)≥g(x2)成立”
等价于f(x)min≥g(x)max
而f(x)min=f(1)=2,
g(x)max=g(1)=5+a,
∴a≤-3.
举一反三
lim
x→0
f(x)(x-1)
x2+x
存在,则f(x)不可能为(  )
A.x2B.|x|C.xD.-x
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极限
lim
n→2
n2+2n-1
2n2+n
=(  )
A.
1
2
B.1C.
7
10
D.
7
8
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已知抛物线y=-x2+2引抛物线的切线l,使l与两坐标轴在第一象限围成三角形的面积最小,求l的方程.
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曲线f(x)=xlnx+2x在点(1,f(1))处的切线方程是(  )
A.3x-y-1=0B.3x-y+1=0C.3x+y-1=0D.3x-y-5=0
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求曲线y=2x-
1
x
+1在x=1处的切线方程
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