已知函数f（x）=1+alnxx，（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）在（1）条件下，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=

1+alnx

x

，（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（2）在（1）条件下，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切，求实数k的值．

答案

（1）∵f（x）=

1+alnx

x

∴f^′（x）=

a-1-alnx

x2

∵函数f（x）在x=1处取得极值
∴f^′（1）=a-1=0
∴a=1
经检验，a=1时f^′（x）=-

lnx

x2

故0＜x＜1时f^′（x）＞0，x＞1时f^′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减故f（x）在x=1处取得极值．
∴a=1
（2）由（1）可知a=1
∴f（x）=

1+lnx

x

∴f^′（x）=-

lnx

x2

设切点A（x₀，y₀）
∴k=f^′（x₀）=-

Inx0

x 20

又∵k=k_OA=

1+lnx0

x02

∴

1+Inx0

x 20

=-

Inx0

x 20

∴lnx₀=-

1

2

∴x0= e-

1

2

∴k=k_OA=

1+lnx0

x02

=

1- 1 2

(e- 1 2 )2

=

e

2