在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点到一条渐近线l的距离为4,若渐近线l恰好是曲线y=x3-3x2+2x在原点处的

在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点到一条渐近线l的距离为4,若渐近线l恰好是曲线y=x3-3x2+2x在原点处的

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在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的焦点到一条渐近线l的距离为4,若渐近线l恰好是曲线y=x3-3x2+2x在原点处的切线,则双曲线的标准方程为______.
答案
f′(x)=3x2-6x+2.设切线的斜率为k.
切点是原点,k=f′(0)=2,所以所求曲线的切线方程为y=2x.
∵双曲线的一条渐近线方程是 y=2x,
b
a
=2

又∵
|2c|


22+12
=
|2c|


5
=4

∴c=2


5
,∵c2=a2+b2
∴a2=4  b2=16
∴双曲线方程为
x2
4
-
y2
16
=1

故答案为
x2
4
-
y2
16
=1
举一反三
lim
n→∞
(
n
n-1
)f(n)=e2
,则f(n)的一个表达式为______(只需写出一个).
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曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+8=0的最短距离是______.
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等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,若
Sn
Tn
=
2n
3n+1
,则
lim
n→∞
an
bn
等于(  )
A.1B.


6
3
C.
2
3
D.
4
9
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若曲线f(x)=
a
x
+lnx
在点(e,f(e))处的切线与坐标围成的面积为8e,则常数a的值是(  )
A.eB.2eC.-eD.-
2
e
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过原点作y=lgx的切线,切点坐标为______.
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