已知函数f(x)在R上有定义,对任意实数a>0和任意实数x都有f(ax)=a﹒f(x).(1)证明:f(0)=0(2)若f(1)=1,求g(x)=1f(x)+f
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已知函数f(x)在R上有定义,对任意实数a>0和任意实数x都有f(ax)=a﹒f(x).(1)证明:f(0)=0(2)若f(1)=1,求g(x)=1f(x)+f
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)在R上有定义,对任意实数a>0和任意实数x都有f(ax)=a﹒f(x).
(1)证明:f(0)=0
(2)若f(1)=1,求
g(x)=
1
f(x)
+f(x).(x>0)
的极值.
答案
(1)证明:令x=0,则f(0)=af(0),
∵a>0,∴f(0)=0.
(2)由于f(1)=1
则f(x)=f(x•1)=x•f(1)=x
故
g(x)=
1
f(x)
+f(x)=
1
x
+x.(x>0)
可得
g′(x)=1-
1
x
2
=
(x+1)(x-1)
x
2
(x>0)
令
g
′
(x)>0
,则x>1或x<-1;令
g
′
(x)<0
,则-1<x<1.
故函数g(x)在x=-1处取得极大值,且极大值为-2,函数g(x)在x=1处取得极小值,且极小值为2.
举一反三
曲线
y=
e
x
x
在点(2,f(2))处的切线的斜率为( )
A.
-
1
4
e
2
B.
1
4
e
2
C.
3
4
e
2
D.e
2
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=x
2
+x-lnx的极值点的个数是( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=
1
3
x
3
+x
2
-3x-4的极小值是( )
A.-4
B.-
64
3
C.-
17
3
D.-
10
3
题型:不详
难度:
|
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若直线x+y+m=0(m∈R)不可能是曲线f(x)=ax
2
+lnx的切线,则实数a的取值范围是( )
A.a≤0
B.
a≥-
1
8
C.
a<-
1
8
D.a≥0
题型:不详
难度:
|
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求函数f(x)=ax+
1
x+b
(a,b∈z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3,求f(x)的解析式.
题型:不详
难度:
|
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