已知函数f(x)在R上有定义,对任意实数a>0和任意实数x都有f(ax)=a﹒f(x).(1)证明:f(0)=0(2)若f(1)=1,求g(x)=1f(x)+f

已知函数f(x)在R上有定义,对任意实数a>0和任意实数x都有f(ax)=a﹒f(x).(1)证明:f(0)=0(2)若f(1)=1,求g(x)=1f(x)+f

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已知函数f(x)在R上有定义,对任意实数a>0和任意实数x都有f(ax)=a﹒f(x).
(1)证明:f(0)=0
(2)若f(1)=1,求g(x)=
1
f(x)
+f(x).(x>0)
的极值.
答案
(1)证明:令x=0,则f(0)=af(0),
∵a>0,∴f(0)=0.
(2)由于f(1)=1
则f(x)=f(x•1)=x•f(1)=x
g(x)=
1
f(x)
+f(x)=
1
x
+x.(x>0)

可得g′(x)=1-
1
x2
=
(x+1)(x-1)
x2
  (x>0)

g (x)>0,则x>1或x<-1;令g (x)<0,则-1<x<1.
故函数g(x)在x=-1处取得极大值,且极大值为-2,函数g(x)在x=1处取得极小值,且极小值为2.
举一反三
曲线y=
ex
x
在点(2,f(2))处的切线的斜率为(  )
A.-
1
4
e2
B.
1
4
e2
C.
3
4
e2
D.e2
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函数f(x)=x2+x-lnx的极值点的个数是(  )
A.0个B.1个C.2个D.3个
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函数f(x)=
1
3
x3+x2-3x-4的极小值是(  )
A.-4B.-
64
3
C.-
17
3
D.-
10
3
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若直线x+y+m=0(m∈R)不可能是曲线f(x)=ax2+lnx的切线,则实数a的取值范围是(  )
A.a≤0B.a≥-
1
8
C.a<-
1
8
D.a≥0
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求函数f(x)=ax+
1
x+b
(a,b∈z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3,求f(x)的解析式.
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