已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间;(3)若对任意x
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求f(x)的单调区间; (3)若对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且f(x1+2x1<f(x2)+2x2)恒成立,求a的取值范围. |
答案
(1)当a=1时,f(x)=x2-3x+lnx,f′(x)=2x-3+, 因为f′(1)=0,f(1)=-2,所以切线方程是y=-2; (2)函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx的定义域是(0,+∞), f′(x)=2ax-(a+2)+=(x>0), 令f′(x)=0,即f′(x)===0, 所以x=或x=, ①当a>2时,令f′(x)>0得,x>或0<x<,f′(x)<0得<x<, ②当a=2时,f′(x)≥0恒成立, ③当0<a<2时,令f′(x)>0得,x>或0<x<,f′(x)<0得<x<, ④a<0时,令f′(x)>0得0<x<,f′(x)<0得x>, 所以当a>2时,f(x)的单调增区间为(0,),(,+∞)单调减区间为(,); 当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当0<a<2时,f(x)在(0,),(,+∞)上单调递增,在(,)上单调递减; 当a≤0时,f(x)在(0,)上单调递增,(,+∞)上单调递减. (3)设g(x)=f(x)+2x,则g(x)=ax2-ax+lnx, 只要g(x)在(0,+∞)上单调递增即可, 而g′(x)=2ax-a+=, 当a=0时,g′(x)=>0,此时g(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a≠0时,只需g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立, 因为x∈(0,+∞),只要2ax2-ax+1≥0, 则需要a>0, 对于函数y=2ax2-ax+1,过定点(0,1),对称轴x=>0,只需△=a2-8a≤0,即0<a≤8, 综上,0≤a≤8. |
举一反三
设k∈R,函数f(x)=ex-(1+x+kx2)(x>0). (Ⅰ)若k=1,试求函数f(x)的导函数f"(x)的极小值; (Ⅱ)若对任意的t>0,存在s>0,使得当x∈(0,s)时,都有f(x)<tx2,求实数k的取值范围. |
已知a>0,函数f(x)=ax2-x,g(x)=ln(ax) (1)若直线y=kx-1与函数f(x)、g(x)相切于同一点,求实数a,k的值; (2)是否存在实数a,使得f(x)≥g(x)成立,若存在,求出实数a的取值集合,不存在说明理由. |
设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈R)图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-. (1)求a、b、c、d的值; (2)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?试证明你的结论; (3)若x1,x2∈[-1,1]时,求证:|f(x1)-f(x2)|≤. |
已知a∈R,函数f(x)=ax-lnx,g(x)=,x∈(0,e],(其中e是自然对数的底数,为常数), (1)当a=1时,求f(x)的单调区间与极值; (2)在(1)的条件下,求证:f(x)>g(x)+; (3)是否存在实数a,使得f(x)的最小值为3.若存在,求出a的值,若不存在,说明理由. |
下列命题中,正确的是( ) ①数列{(-1)n•}没有极限; ②数列{(-1)n•}的极限为0; ③数列{+(-)n}的极限为; ④数列{}没有极限. |
最新试题
热门考点