设k∈R,函数f(x)=ex-(1+x+kx2)(x>0).(Ⅰ)若k=1,试求函数f(x)的导函数f"(x)的极小值;(Ⅱ)若对任意的t>0,存在s>0,使得

设k∈R,函数f(x)=ex-(1+x+kx2)(x>0).(Ⅰ)若k=1,试求函数f(x)的导函数f"(x)的极小值;(Ⅱ)若对任意的t>0,存在s>0,使得

题型:不详难度:来源:
设k∈R,函数f(x)=ex-(1+x+kx2)(x>0).
(Ⅰ)若k=1,试求函数f(x)的导函数f"(x)的极小值;
(Ⅱ)若对任意的t>0,存在s>0,使得当x∈(0,s)时,都有f(x)<tx2,求实数k的取值范围.
答案
(Ⅰ)当k=1时,函数f(x)=ex-(1+x+x2)(x>0),
则f(x)的导数f"(x)=ex-(1+2x),f"(x)的导数f""(x)=ex-2.…(2分)
令f""(x)=ex-2=0,可得x=ln2,
当0<x<ln2时,f""(x)<0;当x>ln2时,f""(x)>0,
从而f"(x)在(0,ln2)内递减,在(ln2,+∞)内递增.…(4分)
故导数f"(x)的极小值为f"(ln2)=1-2ln2…(6分)
(Ⅱ)解法1:对任意的t>0,记函数Ft(x)=f(x)-tx2=ex-[1+x+(k+t)x2](x>0),
根据题意,存在s>0,使得当x∈(0,s)时,Ft(x)<0.
则Ft(x)的导数Ft(x)=ex-[1+2(k+t)x],F"t(x)的导数Ft′′(x)=ex-2(k+t)…(9分)
①若Ft′′(0)≥0,因Ft′′(x)在(0,s)上递增,故当x∈(0,s)时,Ft′′(x)Ft′′(0)≥0,
于是F"t(x)在(0,s)上递增,则当x∈(0,s)时,F"t(x)>F"t(0)=0,从而Ft(x)在(0,s)上递增,故当x∈(0,s)时,Ft(x)>Ft(0)=0,与已知矛盾 …(11分)
②若Ft′′(0)<0,注意到Ft′′(x)在[0,s)上连续且递增,故存在s>0,使得当x∈(0,s)Ft′′(x)<0,从而F"t(x)在(0,s)上递减,于是当x∈(0,s)时,F"t(x)<F"t(0)=0,
因此Ft(x)在(0,s)上递减,故当x∈(0,s)时,Ft(x)<Ft(0)=0,满足已知条件…(13分)
综上所述,对任意的t>0,都有Ft′′(0)<0,即1-2(k+t)<0,亦即k>
1
2
-t

再由t的任意性,得k≥
1
2
,经检验k=
1
2
不满足条件,所以k>
1
2
…(15分)
解法2:由题意知,对任意的t>0,存在s>0,使得当x∈(0,s)时,都有
f(x)
x2
<t
成立,即
f(x)
x2
≤0
成立,则存在s>0,使得当x∈(0,s)时,f(x)≤0成立,
又f(0)=0,则存在s0>0,使得当x∈(0,s0)时,f(x)为减函数,即当x∈(0,s0)时使f"(x)=ex-1-2kx≤0成立,
又f"(0)=0,故存在s0>s>0,使得当x∈(0,s)时f"(x)为减函数,
则当x∈(0,s)时f′′(x)≤0成立,即ex-2k≤0,得k≥
ex
2
1
2
举一反三
已知a>0,函数f(x)=ax2-x,g(x)=ln(ax)
(1)若直线y=kx-1与函数f(x)、g(x)相切于同一点,求实数a,k的值;
(2)是否存在实数a,使得f(x)≥g(x)成立,若存在,求出实数a的取值集合,不存在说明理由.
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设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈R)图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-
2
3

(1)求a、b、c、d的值;
(2)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?试证明你的结论;
(3)若x1,x2∈[-1,1]时,求证:|f(x1)-f(x2)|≤
4
3
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已知a∈R,函数f(x)=ax-lnx,g(x)=
lnx
x
,x∈(0,e],(其中e是自然对数的底数,为常数),
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间与极值;
(2)在(1)的条件下,求证:f(x)>g(x)+
1
2

(3)是否存在实数a,使得f(x)的最小值为3.若存在,求出a的值,若不存在,说明理由.
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下列命题中,正确的是(  )
①数列{(-1)n


3
}
没有极限;
②数列{(-1)n
2
n
}
的极限为0;
③数列{


3
+(-


3
2
)
n
}
的极限为


3

④数列{
2n
(


3
)
n
}
没有极限.
A.①②B.①②③C.②③④D.①②③④
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已知定义在正实数集上的函数f(x)=
1
2
x2+2ax
,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0,设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.
(I)用a表示b,并求b的最大值;
(II)求证:f(x)≥g(x)(x>0).
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