已知a>0,函数f(x)=ax2-x,g(x)=ln(ax)(1)若直线y=kx-1与函数f(x)、g(x)相切于同一点,求实数a,k的值;(2)是否存在实数a
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已知a>0,函数f(x)=ax2-x,g(x)=ln(ax) (1)若直线y=kx-1与函数f(x)、g(x)相切于同一点,求实数a,k的值; (2)是否存在实数a,使得f(x)≥g(x)成立,若存在,求出实数a的取值集合,不存在说明理由. |
答案
解(1)设g(x)的切点(x0,ln(ax0)),g′(x0)==k, ∴g(x0)=ln(ax0)=kx0-1=0,∴ax0=1, 设f(x)切点(x0,f(x0)),f′(x0)=2ax0-1=k=1,∴a=x0=1, ∴a=k=1; (2)令h(x)=f(x)-g(x)=ax2-x-ln(ax),即h(x)min≥0, h′(x)=,令p(x)=2ax2-x-1,△=1+8a>0, 所以p(x)=0有两不等根x1,x2,x1x2=-<0,不妨令x1<0<x2, 所以h(x)在(0,x2)上递减,在(x2,+∞)上递增, 所以h(x2)=ax22-x2-ln(ax2)≥0成立, 因为p(x2)=2ax22-x2-1=0,所以ax2=, 所以h(x2)=-ln≥0,且x2==, 令k(x)=-ln=+ln2x-ln(1+x), k′(x)=-,所以k(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以k(x2)≤k(1)=0,又h(x2)=-ln≥0,所以x2=1代入ax2=,a=1, 所以a∈{1}. |
举一反三
设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈R)图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-. (1)求a、b、c、d的值; (2)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?试证明你的结论; (3)若x1,x2∈[-1,1]时,求证:|f(x1)-f(x2)|≤. |
已知a∈R,函数f(x)=ax-lnx,g(x)=,x∈(0,e],(其中e是自然对数的底数,为常数), (1)当a=1时,求f(x)的单调区间与极值; (2)在(1)的条件下,求证:f(x)>g(x)+; (3)是否存在实数a,使得f(x)的最小值为3.若存在,求出a的值,若不存在,说明理由. |
下列命题中,正确的是( ) ①数列{(-1)n•}没有极限; ②数列{(-1)n•}的极限为0; ③数列{+(-)n}的极限为; ④数列{}没有极限. |
已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0,设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同. (I)用a表示b,并求b的最大值; (II)求证:f(x)≥g(x)(x>0). |
曲线y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值是______. |
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