已知函数f(x)=23x3-12x2-x+1,x∈R(1)求函数f(x)的极大值和极小值;(2)已知x∈R,求函数f(sinx)的最大值和最小值.(3)若函数g
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已知函数f(x)=23x3-12x2-x+1,x∈R(1)求函数f(x)的极大值和极小值;(2)已知x∈R,求函数f(sinx)的最大值和最小值.(3)若函数g
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=
2
3
x
3
-
1
2
x
2
-x+1
,x∈R
(1)求函数f(x)的极大值和极小值;
(2)已知x∈R,求函数f(sinx)的最大值和最小值.
(3)若函数g(x)=f(x)+a的图象与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围.
答案
解;(1)∵f(x)=
2
3
x
3
-
1
2
x
2
-x+1
,
∴f′(x)=2x
2
-x-1,
令f′(x)=0,则x=-
1
2
或x=1
由x<-
1
2
或x>1时,f′(x)>0,此时函数为增函数;
-
1
2
<x<1时,f′(x)<0,此时函数为减函数;
故当x=-
1
2
时,函数f(x)的极大值
31
24
当x=1时,函数f(x)的极小值
1
6
(2)令t=sinx,t∈[-1,1]
则f(sinx)=f(t)=
2
3
t
3
-
1
2
t
2
-t+1
由(1)可得f(t)在[-1,-
1
2
]上单调递增,在[-
1
2
,1]上单调递减
又∵f(-1)=
5
6
,f(-
1
2
)=
31
24
,f(1)=
1
6
故函数f(sinx)的最大值为
31
24
,最小值为
1
6
(3)若函数g(x)=f(x)+a的图象与x轴有且只有一个交点,
则函数g(x)的极大值
31
24
+a与极小值
1
6
+a同号
即(
31
24
+a)(
1
6
+a)>0
解得a<-
31
24
或a>-
1
6
举一反三
已知函数f(x)=lnx+
a-x
x
,其中a为常数,且a>0.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=
1
2
x+1
垂直,求a的值;
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为
1
2
,求a的值.
题型:不详
难度:
|
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点M(1,m)在函数f(x)=x
3
的图象上,则该函数在点M处的切线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
1+lnx
x
(1)若k>0且函数f(x)在区间(k,k+
3
4
)上存在极值,求实数k的取值范围
(2)如果存在x∈[2,+∞),使得不等式
f(x)≤
a
x+2
成立,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知f(x)=x
3
+ax
2
-a
2
x+2.
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;
(Ⅱ)若a≠0 求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若不等式2xlnx≤f′(x)+a
2
+1恒成立,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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.经过原点(0,0)做函数f(x)=x
3
+3x
2
的切线,则切线方程为______.
题型:辽宁一模
难度:
|
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