(1)证明:由f(x)=x3+ax2+bx+c(a<0),得:f′(x)=x2+2ax+b, 由题意可得f′(0)=0,f(0)=-1,解得b=0,c=-1. ∴f(x)=x3+ax2-1. 经检验,f(x)在x=0处取得极大值. 设切点为(x0,y0),则切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0) 即为y=(x02+2ax0)x-x03-ax02-1 把(-a,f(-a))代入方程可得x03+3ax02+3a2x0+a3=0, 即(x0+a)3=0,所以x0=-a. 即点A为切点,且切点是唯一的,故切线有且只有一条. 所以切线方程为a2x+y+a3+1=0; (2)因为切线方程为y=(x02+2ax0)x-x03-ax02-1, 把(0,0)代入可得x03+ax02+1=0, 因为有三条切线,故方程得x03+ax02+1=0有三个不同的实根. 设g(x)=x3+ax2+1(a<0) g′(x)=2x+2ax,令g′(x)=2x+2ax=0,可得x=0和x=-a. 当x∈(-∞,0)时,g′(x)>0,g(x)为增函数, 当x∈(0,-a)时,g′(x)<0,g(x)为减函数, 当x∈(-a,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数, 所以,当x=0时函数g(x)取得极大值为g(0)=1>0. 当x=-a时函数g(x)取得极小值, 极小值为g(-a)=×(-a)3+a•(-a)2+1=a3+1. 因为方程有三个根,故极小值小于零,a3+1<0,所以a<-. (3)证明:假设f′(x1)=f′(x2),则x12+2ax1=x22+2ax2, 所以(x1-x2)(x1+x2)=-2a(x1-x2) 因为x1≠x2,所以x1+x2=-2a. 由(2)可得,两式相减可得(x23-x13)+a(x22-x12)=0. 因为x1≠x2,故(x22+x1x2+x12)+a(x1+x2)=0. 把x1+x2=-2a代入上式可得,x22+x1x2+x12=3a2, 所以(x1+x2)2-x1x2=3a2,(-2a)2-x1x2=3a2. 所以x1x2=a2. 又由x1x2<()2=()2=a2,这与x1x2=a2矛盾. 所以假设不成立,即证得f′(x1)≠f′(x2). |