已知函数f（x）=x3-ax2+bx+c．（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a，b的关系式；（Ⅱ）若函数f（x）在x=-

题型：东城区模拟难度：来源：

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a，b的关系式；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，且其图象与x轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围．

答案

（Ⅰ）f"（x）=3x²-2ax+b，设切点为P（x₀，y₀），
则曲线y=f（x）在点P处的切线的斜率k=f"（x₀）=3x₀²-2ax₀+b，
由题意，知f"（x₀）=3x₀²-2ax₀+b=0有解，
∴△=4a²-12b≥0即a²≥3b．
（Ⅱ）由已知可得x=-1和x=3是方程f"（x）=3x²-2ax+b=0的两根，
∴-1+3=

2a

3

，-1×3=

b

3

，
∴a=3，b=-9．（7分）
∴f"（x）=3（x+1）（x-3），
∴f（x）在x=-1处取得极大值，在x=3处取得极小值．
∵函数y=f（x）的图象与x轴有且只有3个交点，∴

f(-1)＞0 f(3)＜0.

又f（x）=x³-3x²-9x+c，∴

-1-3+9+c＞0 27-27-27+c＜0

，
解得-5＜c＜27．