过曲线C:f(x)=x3-ax+b外的点A(1,0)作曲线C的切线恰有两条,(1)求a,b满足的等量关系;(2)若存在x0∈R+,使f(x0)>x0•ex0+a
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过曲线C:f(x)=x3-ax+b外的点A(1,0)作曲线C的切线恰有两条, (1)求a,b满足的等量关系; (2)若存在x0∈R+,使f(x0)>x0•ex0+a成立,求a的取值范围. |
答案
(1)f′(x)=3x2-a, 过点A(1,0)作曲线C的切线,设切点(x0,f(x0)),则切线方程为:y=(3x02-a)(x-1) 将(x0,f(x0))代入得:f(x0)=(3x02-a)(x0-1)=x03-ax0+b 即2x03-3x02+a-b=0(*) 由条件切线恰有两条,方程(*)恰有两根. 令u(x)=2x3-3x2+a-b,u′(x)=6x2-6x=6x(x-1),显然有两个极值点x=0与x=1, 于是u(0)=0或u(1)=0 当u(0)=0时,a=b; 当u(1)=0时,a-b=1,此时f(x)=x3-ax+a-1=(x-1)(x2+x+1-a)经过(1,0)与条件不符 所以a=b (2)因为存在x0∈R+,使f(x0)>x0•ex0+a,即x03-ax0+a>x0•ex0+a 所以存在x0∈R+,使x03-ax0>x0•ex0,得x02-a>ex0,即a<x02-ex0成立 设g(x)=x2-ex(x>0),问题转化为a<g(x)的最大值 g′(x)=2x-ex, g′′(x)=2-ex,令g′′(x)=0得x=ln2, 当x∈(0,ln2)时g′′(x)>0此时g′(x)为增函数,当x∈(ln2,+∞)时g′′(x)<0,此时g′(x)为减函数, 所以g′(x)的最大值为g′(ln2)=2ln2-eln2=2ln2-2=2(ln2-1) ∵ln2<1,∴g′(x)的最大值g′(ln2)<0,得g′(x)<0 所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,g(x)<g(0)=-1 因此a≤-1. |
举一反三
已知函数f(x)=. (1)求f(x)在点(1,0)处的切线方程; (2)求函数f(x)在[1,t]上的最大值. |
抛物线y=x2的一条切线方程为6x-y-b=0,则切点坐标为______. |
已知函数y=2x3-3x2-12x+8. (Ⅰ)求函数在x=1处的切线方程; (Ⅱ)求函数在区间[-2,3]上的最大值和最小值. |
抛物线y=(1-2x)2在点x=处的切线方程为( )A.y=0 | B.8x-y-8=0 | C.x=1 | D.y=0或者8x-y-8=0 |
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过曲线f(x)=-x3+3x的点A(2,-2)的切线方程______. |
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