已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.(1)求函数g(x)=f(x)•f"(x)的最小值及相应的x值的集合;(2)若f(x)=2f
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已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.(1)求函数g(x)=f(x)•f"(x)的最小值及相应的x值的集合;(2)若f(x)=2f
题型:不详
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已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.
(1)求函数g(x)=f(x)•f"(x)的最小值及相应的x值的集合;
(2)若f(x)=2f′(x),求
tan( x+
π
4
)
的值.
答案
(1)∵f(x)=sinx+cosx,故f"(x)=cosx-sinx,
∴g(x)=f(x)•f"(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)=cos
2
x-sin
2
x=cos2x,
∴当2x=-π+2kπ(k∈Z),即
x=-
π
2
+kπ ( k∈Z )
时,g(x)取得最小值-1,
相应的x值的集合为
{ x|x=-
π
2
+kπ , k∈Z }
.
(2)由f(x)=2f′(x),得sinx+cosx=2cosx-2sinx,
∴cosx=3sinx,故
tanx=
1
3
,
∴
tan( x+
π
4
)=
tanx+tan
π
4
1-tanxtan
π
4
=
1+
1
3
1-
1
3
=2
.
举一反三
函数y=x
2
lnx的极小值为______.
题型:不详
难度:
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已知f(x)=ax-lnx,a∈R
(Ⅰ)当a=2时,求曲线f(x)在点(1,f(x))处的切线方程;
(Ⅱ)若f(x)在x=1处有极值,求f(x)的单调递增区间;
(Ⅲ)是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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等比数列{a
n
}的公比为-
1
2
,前n项的和S
n
满足
lim
n→∞
S
n
=
1
a
1
,那么
1
a
1
的值为( )
A.
±
3
B.±
3
2
C.
±
2
D.
±
6
2
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d的单调递减区间是(-1,3),且在x=1处的切线方程为:12x+y-13=0,求函数f(x)的解析式.
题型:不详
难度:
|
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lim
x→2
x
2
-3x+2
x
2
-4
的值等于______.
题型:西城区一模
难度:
|
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