已知点M(x1,f(x1))是函数f(x)=1x,x∈(0,+∞)图象C上的一点,记曲线C在点M处的切线为l.(1)求切线l的方程;(2)设l与x轴,y轴的交点

已知点M(x1,f(x1))是函数f(x)=1x,x∈(0,+∞)图象C上的一点,记曲线C在点M处的切线为l.(1)求切线l的方程;(2)设l与x轴,y轴的交点

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已知点M(x1,f(x1))是函数f(x)=
1
x
,x∈(0,+∞)图象C上的一点,记曲线C在点M处的切线为l.
(1)求切线l的方程;
(2)设l与x轴,y轴的交点分别为A、B,求△AOB周长的最小值.
答案
(1)f′(x)=-
1
x2

∴k=f′(x1)=-
1
x21

∴切线方程为y-
1
x1
=-
1
x21
(x-x1),即y=-
1
x21
x+
2
x1

(2)在y=-
1
x21
x+
2
x1
中,
令y=0得x=2x1,∴A(2x1,0).
令x=0,得y=
2
x1
,∴B(0,
2
x1
)

∴△AOB的周长m=2x1+
2
x1
+


(2x1)2+(
2
x1
)
2

∴m=2(x1+
1
x1
+


x21
+
1
x21
)
,x1∈(0,+∞).
令t=x1+
1
x1
,∵x1∈(0,+∞),∴t≥2.
∴当t=2,即x1=1时,m最小=2(2+


2
).
故△AOB周长的最小值是2(2+


2
).
举一反三
函数f(x)=x2+bx在点A(1,f(1))处的切线方程为3x-y-1=0,设数列{
1
f(n)
}
的前n项和为Sn,则S2012为______.
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已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.
(1)求函数g(x)=f(x)•f"(x)的最小值及相应的x值的集合;
(2)若f(x)=2f′(x),求tan( x+
π
4
 )
的值.
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函数y=x2lnx的极小值为______.
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已知f(x)=ax-lnx,a∈R
(Ⅰ)当a=2时,求曲线f(x)在点(1,f(x))处的切线方程;
(Ⅱ)若f(x)在x=1处有极值,求f(x)的单调递增区间;
(Ⅲ)是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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等比数列{an}的公比为-
1
2
,前n项的和Sn满足
lim
n→∞
Sn=
1
a1
,那么
1
a1
的值为(  )
A.±


3
B.±
3
2
C.±


2
D.±


6
2
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