(1)∵f(x)=+x+lnx-1∴f′(x)=-+ =,令f′(x)=0得,x=a, ①若0<a<e,当x∈(0,a)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减,当x∈(a,e)时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(a,e)上单调递增, 所以当x=a时,函数f(x)在区间(0,e]上取得最小值lna. ②若a≥e,则f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,所以当x=e时,函数f(x)在区间(0,e]上取得最小值.; 综上所述,当0<a<e时,函数f(x)在区间(0,e]上取得最小值lna,当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上取得最小值.; (2)不存在.证明如下 g(x)=(lnx-1)+x,x∈(0,e], ∴g′(x)=•ex+(lnx-1)ex+1=(+lnx-1)ex+1 由(1)知,当a=1时,f(x)=+lnx-1,此时f(x)在区间(0,e]上取得最小值ln1=0,即+lnx-1≥0,而ex>0,所以g′(x)≥1>0, 又曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直,等价于g′(x0)=0有实数根,而g′(x)>0,所以方程g′(x0)=0无实数根, 故不存在实数x0∈(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直. |